Em um circuito
subamortecido, a resistência é tal que
. Ache essa resistência em termos de
e
.
Passo 1
O enunciado pede para achar a resistência
em termos de
e
num circuito
subamortecido, sabendo que a frequência do regime oscilatório amortecido é igual a metade da frequência natural:
.
Informações dadas:
Variáveis envolvidas que vamos usar:
(resistência),
(indutância),
(capacitância),
(frequência natural não amortecida) e
(frequência amortecida observada).
Passo 2
Vou trabalhar com o circuito série
(é a formulação padrão para este tipo de problema). A equação diferencial para a carga
no circuito série é
Dividindo por
obtemos
A equação característica associada é
Agora definimos dois parâmetros fundamentais:
Expliquei o que cada símbolo significa:
mede o quanto a resistência “drena” energia (maior
→ maior
);
é a frequência que o sistema teria sem resistência.
Passo 3
Quando o circuito está subamortecido temos
e as raízes da característica são complexas:
onde a frequência angular amortecida
(também chamada
) é dada por
Breve motivo: isso vem diretamente de resolver
(é a mesma equação da característica escrita com
e
).
Passo 4
Agora uso a condição do enunciado
. Substituindo em
temos
Quadrando ambos os lados (atenção: ao quadrar não perdemos a solução válida porque os dois lados são não-negativos),
Isolando
:
Portanto
escolhendo a raiz positiva porque
.
Passo 5
Lembrando que
, substituímos:
Multiplicando ambos os lados por
obtemos
Passo 6
Agora substituímos
:
Simplificando a raiz:
Logo
Passo 7
Cheque rápido de consistência: com essa
temos
, portanto o circuito permanece subamortecido (condição pedida), o que confirma que a solução é válida.