Em um circuito R L C subamortecido, a resistência é tal que \omega=\omega_{0} / 2. Ache essa resistência em termos de L e C.

Passo 1

O enunciado pede para achar a resistência R em termos de L e C num circuito RLC subamortecido, sabendo que a frequência do regime oscilatório amortecido é igual a metade da frequência natural: \omega=\omega_{0}/2.
Informações dadas:
\text{circuito } RLC \text{ subamortecido},
\omega=\frac{\omega_{0}}{2}.
Variáveis envolvidas que vamos usar: R (resistência), L (indutância), C (capacitância), \omega_{0} (frequência natural não amortecida) e \omega (frequência amortecida observada).

Passo 2

Vou trabalhar com o circuito série RLC (é a formulação padrão para este tipo de problema). A equação diferencial para a carga q(t) no circuito série é
L\frac{d^{2}q}{dt^{2}}+R\frac{dq}{dt}+\frac{1}{C}q=0.
Dividindo por L obtemos
\frac{d^{2}q}{dt^{2}}+\frac{R}{L}\frac{dq}{dt}+\frac{1}{LC}q=0.
A equação característica associada é
s^{2}+\frac{R}{L}s+\frac{1}{LC}=0.
Agora definimos dois parâmetros fundamentais:
\alpha=\frac{R}{2L}\quad\text{(fator de amortecimento)},
\omega_{0}=\frac{1}{\sqrt{LC}}\quad\text{(frequência natural não amortecida)}.êã
Expliquei o que cada símbolo significa: \alpha mede o quanto a resistência “drena” energia (maior R → maior \alpha); \omega_{0} é a frequência que o sistema teria sem resistência.

Passo 3

Quando o circuito está subamortecido temos \alpha<\omega_{0} e as raízes da característica são complexas:
s=-\alpha\pm j\omega,
onde a frequência angular amortecida \omega (também chamada \omega_{d}) é dada por
\omega=\sqrt{\omega_{0}^{2}-\alpha^{2}}.
Breve motivo: isso vem diretamente de resolver s^{2}+2\alpha s+\omega_{0}^{2}=0 (é a mesma equação da característica escrita com \alpha e \omega_{0}).

Passo 4

Agora uso a condição do enunciado \omega=\omega_{0}/2. Substituindo em \omega=\sqrt{\omega_{0}^{2}-\alpha^{2}} temos
\frac{\omega_{0}}{2}=\sqrt{\omega_{0}^{2}-\alpha^{2}}.
Quadrando ambos os lados (atenção: ao quadrar não perdemos a solução válida porque os dois lados são não-negativos),
\frac{\omega_{0}^{2}}{4}=\omega_{0}^{2}-\alpha^{2}.
Isolando \alpha^{2}:
\alpha^{2}=\omega_{0}^{2}-\frac{\omega_{0}^{2}}{4}=\frac{3}{4}\,\omega_{0}^{2}.
Portanto
\alpha=\frac{\sqrt{3}}{2}\,\omega_{0},
escolhendo a raiz positiva porque \alpha>0.

Passo 5

Lembrando que \alpha=\dfrac{R}{2L}, substituímos:
\frac{R}{2L}=\frac{\sqrt{3}}{2}\,\omega_{0}.
Multiplicando ambos os lados por 2L obtemos
R=L\sqrt{3}\,\omega_{0}.

Passo 6

Agora substituímos \omega_{0}=\dfrac{1}{\sqrt{LC}}:
R=L\sqrt{3}\cdot\frac{1}{\sqrt{LC}}=\sqrt{3}\,\frac{L}{\sqrt{LC}}.
Simplificando a raiz:
\frac{L}{\sqrt{LC}}=\sqrt{\frac{L^{2}}{LC}}=\sqrt{\frac{L}{C}}.
Logo
R=\sqrt{3}\,\sqrt{\frac{L}{C}}=\sqrt{\frac{3L}{C}}.

Passo 7

Cheque rápido de consistência: com essa R temos \alpha/\omega_{0}=\sqrt{3}/2\approx0{,}866<1, portanto o circuito permanece subamortecido (condição pedida), o que confirma que a solução é válida.

Resposta

R=\sqrt{\frac{3L}{C}}

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