A potência instantânea para o indutor em um circuito R L C em série alimentado por uma fonte de corrente alternada (CA) é P_{L}=\mathrm{iV}_{L}, onde i=i_{0} \operatorname{sen}(\omega t-\varphi) e V_{L}=X_{L} i_{0} \operatorname{sen}(\omega t-\varphi+\pi / 2). Mostre que a potência média para o indutor é igual zero.

Passo 1

O que o enunciado pede: mostrar que a potência média para o indutor é igual a zero.
Informações dadas no enunciado:
i = i_{0}\sin(\omega t-\varphi),
V_{L} = X_{L}\,i_{0}\sin\big(\omega t-\varphi+\tfrac{\pi}{2}\big),
e a potência instantânea no indutor é
P_{L} = i\,V_{L}.
Também é útil lembrar a definição da potência média sobre um período T:
\overline{P_{L}} = \frac{1}{T}\int_{0}^{T} P_{L}(t)\,dt,
onde T=\dfrac{2\pi}{\omega}. A resolução começa a partir dessas informações.

Passo 2

Substituímos i e V_{L} em P_{L}=iV_{L}. Obtém-se:
P_{L} = i_{0}\sin(\omega t-\varphi)\cdot X_{L}\,i_{0}\sin\big(\omega t-\varphi+\tfrac{\pi}{2}\big).
Agrupando constantes:
P_{L} = X_{L}\,i_{0}^{2}\,\sin(\omega t-\varphi)\,\sin\big(\omega t-\varphi+\tfrac{\pi}{2}\big).

Passo 3

Vamos usar a identidade produto-para-soma para simplificar o produto de senos. A identidade é:
\sin A\,\sin B = \tfrac{1}{2}\big[\cos(A-B)-\cos(A+B)\big].
Essa identidade vem das fórmulas de soma e diferença para cosseno; ela transforma o produto de senos em soma de cossenos, o que facilita a integração em tempo.

Passo 4

Aplicando a identidade com A=\omega t-\varphi e B=\omega t-\varphi+\tfrac{\pi}{2} temos:
\sin(\omega t-\varphi)\,\sin\big(\omega t-\varphi+\tfrac{\pi}{2}\big) = \tfrac{1}{2}\Big[\cos\big((\omega t-\varphi)-(\omega t-\varphi+\tfrac{\pi}{2})\big) -\cos\big((\omega t-\varphi)+(\omega t-\varphi+\tfrac{\pi}{2})\big)\Big].
Calcule os argumentos:
(\omega t-\varphi)-(\omega t-\varphi+\tfrac{\pi}{2}) = -\tfrac{\pi}{2},
(\omega t-\varphi)+(\omega t-\varphi+\tfrac{\pi}{2}) = 2(\omega t-\varphi)+\tfrac{\pi}{2}.
Como \cos(-\tfrac{\pi}{2})=\cos(\tfrac{\pi}{2})=0, a primeira parcela some. Assim:
\sin(\omega t-\varphi)\,\sin\big(\omega t-\varphi+\tfrac{\pi}{2}\big) = -\tfrac{1}{2}\cos\big(2(\omega t-\varphi)+\tfrac{\pi}{2}\big).
Substituindo em P_{L}:
P_{L} = -\tfrac{1}{2} X_{L}\,i_{0}^{2}\,\cos\big(2(\omega t-\varphi)+\tfrac{\pi}{2}\big).

Passo 5

Agora calculamos a potência média em um período T:
\overline{P_{L}} = \frac{1}{T}\int_{0}^{T} P_{L}(t)\,dt = -\frac{X_{L}\,i_{0}^{2}}{2T}\int_{0}^{T}\cos\big(2(\omega t-\varphi)+\tfrac{\pi}{2}\big)\,dt.
Para integrar um cosseno com argumento linear em t use:
\int_{0}^{T}\cos(2\omega t + C)\,dt = \frac{1}{2\omega}\big[\sin(2\omega t + C)\big]_{0}^{T} = \frac{1}{2\omega}\big(\sin(2\omega T + C)-\sin C\big).
Aqui 2\omega T = 2\omega\cdot\frac{2\pi}{\omega}=4\pi, e \sin(C+4\pi)=\sin C. Logo a diferença é zero e a integral vale zero. Portanto
\int_{0}^{T}\cos\big(2(\omega t-\varphi)+\tfrac{\pi}{2}\big)\,dt = 0.
Assim
\overline{P_{L}} = 0.

Passo 6

Interpretação física curta (para fixar a ideia): o indutor armazena energia no campo magnético durante uma parte do ciclo e a devolve à fonte em outra parte do ciclo; no balanço sobre um ciclo completo, a energia líquida trocada é nula, por isso a potência média é zero. Isso é consistente com o resultado matemático acima.

Resposta

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