Um disco fino isolante de raio R esta posicionado no plano \mathcal{X}^{\prime} \mathcal{Y} com seu centro na origem do sistema de coordenadas. Este disco possui uma densidade superficial de carga constante \sigma. Para determinar o campo elétrico na coordenada =(\operatorname{com} z \neq 0 \mathrm{e}|z|>R) ao longo do cixo \mathcal{Z}, pretende-se utilizar a lei de Gauss. Considera-se uma superfície gaussiana cilíndrica \mathcal{S} de bases circulares com raio R e comprimento 2|z|. A superficie \mathcal{S} envolve o disco, com seu eixo alinhado com o eixo \mathcal{Z} e suas bases a uma distância |z| e-|z| da origem, conforme ilustrado na figura. Com base no exposto, qual das seguintes afirmações é correta?
(3a) A lei de Gauss nāo é útil para calcular o campo elétrico, pois o módulo do campo elétrico nāo é constante sobre a superfície lateral ou sobre as tampas do cilindro gaussiano, separadamente.
(b) A lei de Gauss é útil para calcular o campo elétrico, pois a simetria do disco, sendo idêntica à da superfície gaussiana, garante que toda a carga do disco esteja contida dentro da superfície gaussiana.
(c) A lei de Gauss é útil para calcular o campo elétrico, pois o fluxo do campo elétrico através da superfície lateral do cilindro é zero.
(d) O campo elétrico do disco é perpendicular em todos os pontos da superficie \mathcal{S}, tornando-a adequada para calcular o campo ao longo do eixo \mathcal{Z}.
(e) A lei de Gauss é útil para calcular o campo elétrico, pois a simetria cilíndrica do problema permite considerar apenas a componente do campo ao longo do eixo \mathcal{Z}.
Passo 1
O enunciado dá um disco fino, no plano \mathcal{X}'\mathcal{Y}, centrado na origem, de raio R e densidade superficial de carga constante \sigma. Queremos saber se a escolha de uma superfície gaussiana cilíndrica \mathcal{S} de raio R e comprimento 2|z| (com o disco no plano médio do cilindro) torna a aplicação da lei de Gauss útil para determinar o campo elétrico no ponto sobre o eixo \mathcal{Z} em z com |z|>R. O enunciado fornece cinco alternativas (a)–(e) e pede qual é a correta. Dados relevantes extraídos do enunciado:
Raio do disco: \,R.
Densidade superficial de carga do disco: \,\sigma (constante).
Ponto de interesse: ao longo do eixo \mathcal{Z} em z com |z|>R.
Superfície gaussiana proposta: cilindro coaxial de raio R e altura 2|z|, de modo que o disco fica totalmente contido nas bases do cilindro.
Não há mais informações faltantes: o disco é finito (raio R) e estacionário, e a superfície \mathcal{S} é exatamente a descrita.
Passo 2
Apresento a lei de Gauss e explico o que é necessário para que ela seja “útil” para calcular o campo:
onde \mathbf{E} é o campo elétrico no ponto da superfície \mathcal{S}, d\mathbf{A} é o vetor de área (módulo igual à área do elemento, direção normal à superfície), Q_{\text{enc}} é a carga contida dentro da superfície fechada \mathcal{S} e \varepsilon_0 é a constante dielétrica do vácuo.
Para usar essa equação para obter \mathbf{E} (por exemplo, seu módulo em certos pontos), normalmente precisamos que o integrando \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} seja simples: ou o campo tenha módulo e direção constantes sobre partes da superfície, ou o fluxo através de certas partes seja zero por simetria. Em outras palavras, precisamos de uma superfície para a qual conheçamos a direção e o módulo de \mathbf{E} (ou no mínimo sua projeção na normal) de forma simples.
Exemplos onde a lei de Gauss é útil de forma direta:
Plano infinito com densidade superficial constante: o campo é perpendicular e de módulo constante em planos paralelos; escolhendo um cilindro com bases perpendiculares ao plano, o campo é constante nas bases e nulo na lateral.
Linha infinita de carga: escolher um cilindro coaxial; o campo radial tem módulo constante sobre a lateral e fluxo pelas bases é zero.
Esfera com carga distribuída esfericamente: escolher superfície esférica coaxial; campo tem o mesmo módulo em toda a superfície.
Em resumo: ter Q_{\text{enc}} conhecido não basta; é preciso que a simetria torne o cálculo do fluxo simples (módulo constante ou fluxo zero em partes conhecíveis).
Passo 3
Calculo Q_{\text{enc}} dentro da superfície \mathcal{S}:
Como a superfície cilindrica proposta envolve todo o disco (o raio do cilindro é R e o disco tem raio R), a carga total do disco está totalmente dentro da superfície. Logo
Q_{\text{enc}}=\sigma \times \text{(área do disco)}=\sigma \pi R^2.
Isto é verdade e é uma informação correta e útil sobre o fluxo total, mas ainda não nos dá diretamente o valor de \mathbf{E} em pontos específicos, a menos que possamos avaliar o fluxo em cada parte da superfície de forma simples.
Passo 4
Análise da superfície lateral do cilindro: o fluxo através dela é zero?
A normal da superfície lateral é radial (apontando para fora, no sentido \hat{r}). O elemento de fluxo ali é \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=E_r\,dA, onde E_r é a componente radial de \mathbf{E} naquele ponto.
Para o disco finito, o campo fora do eixo tem, em geral, componente radial não nula: pontos fora do eixo “veem” o disco de forma assimétrica em relação a cima/baixo, e as contribuições dos elementos do disco não cancelam totalmente a componente radial. Assim, em um ponto da superfície lateral (em r=R, altura z' entre -|z| e +|z|), normalmente E_r\neq 0.
Portanto o fluxo através da lateral não é, em geral, zero. Não há simetria que force E_r nulo em toda a lateral para um disco finito (isso ocorreria para uma linha infinita ou plano infinito, mas não aqui).
Conclusão: a afirmação (c) — “o fluxo através da superfície lateral do cilindro é zero” — é falsa.
Passo 5
Análise das tampas (bases) do cilindro: o campo é constante sobre cada tampa?
Para usar Gauss para obter o módulo do campo nas tampas, seria necessário que o campo sobre cada tampa tivesse direção constante (por exemplo, paralelo ao eixo) e módulo independente do raio de cada ponto da tampa. No caso do disco finito:
No eixo (em r=0) o campo é puramente axial (E ao longo de \hat{z}), mas à medida que nos afastamos do eixo sobre a tampa, o campo se inclina e seu módulo varia porque a distância e a geometria em relação aos elementos de carga do disco mudam.
Portanto o módulo de \mathbf{E} não é constante sobre uma tampa circular de raio R. Não podemos escrever, por exemplo, \oint_{\text{tampa}} \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=E_{\text{tampa}}\cdot (\text{área}) com algum E_{\text{tampa}} constante.
Conclusão: as tampas não têm \mathbf{E} de módulo constante; logo não podemos extrair o valor de \mathbf{E} numa tampa apenas usando o fluxo total dado por Gauss.
Passo 6
Juntando tudo: utilidade prática da lei de Gauss aqui
Embora saibamos Q_{\text{enc}} e portanto o fluxo total através de \mathcal{S}, não podemos repartir esse fluxo de maneira simples entre as três partes (tampa superior, tampa inferior e lateral) porque:
o fluxo através da lateral não é zero (já mostrado),
o campo sobre cada tampa não é de módulo constante nem puramente normal em todos os pontos.
Assim, a lei de Gauss não permite obter de forma direta o campo \mathbf{E} no ponto do eixo solicitado, porque faltaríamos condições de simetria suficientes para transformar a integral em uma expressão algébrica simples para E.
Isso confirma que a aplicação prática da lei de Gauss, com a superfície cilindrica proposta, NÃO é útil para calcular o módulo do campo no eixo para um disco finito. Em contraste, para um plano infinito simétrico ou para uma esfera com distribuição esférica, Gauss seria útil; para o disco finito, não.
Passo 7
Refutação rápida das outras alternativas:
(b) Falsa: mesmo que toda a carga esteja contida na superfície gaussiana, isso por si só não garante que a lei de Gauss seja útil para encontrar E — é necessário também que a simetria torne o fluxo simples de avaliar.
(c) Falsa: já mostramos que a afirmação do fluxo lateral zero é incorreta.
(d) Falsa: o campo do disco não é perpendicular em todos os pontos da superfície \mathcal{S}; em especial na lateral o campo não é normal à superfície.
(e) Falsa: embora haja simetria de rotação (não há componente tangencial), não há simetria suficiente para dizer que apenas a componente ao longo de \mathcal{Z} existe em toda a superfície; fora do eixo há componente radial importante. Logo não se pode reduzir o problema apenas à componente axial e usar Gauss para obter E no eixo.
Resposta
(3a) A lei de Gauss não é útil para calcular o campo elétrico, pois o módulo do campo elétrico não é constante sobre a superfície lateral ou sobre as tampas do cilindro gaussiano, separadamente.