1. Circuito LC
  • Um capacitor carregado e um indutor são ligados em série no instante t=0. Determine, em termos do período T das oscilações resultantes, o tempo t > 0 necessário para que as seguintes grandezas atinjam o valor máximo:
    (b) a tensão do capacitor, com a polaridade inicial;

Passo 1

O enunciado pede: em termos do período T das oscilações de um circuito ideal LC, determinar o tempo t>0 necessário para que a tensão do capacitor, com a polaridade inicial, atinja seu valor máximo.
Informações dadas e hipóteses que vamos usar (tudo que nos dá o enunciado ou que é natural assumir num LC ideal):
  • Um capacitor previamente carregado é ligado em série com um indutor no instante t=0.
  • Não foi mencionada resistência, então assumimos circuito ideal sem perdas.
  • Denotamos por Q_0 a carga inicial do capacitor em t=0 e por V_0 a tensão inicial no capacitor em t=0. Assim \;V_0 = Q_0/C.
  • A corrente inicial no indutor, ao fechar o circuito em t=0, é \;i(0)=0 (situação típica: capacitor com carga e inductor sem corrente imediatamente antes do fechamento).
  • Foi dado o período das oscilações T (relacionado à frequência angular \omega por \;T = 2\pi/\omega).
    A pergunta específica que vamos responder: qual é o menor tempo t>0 tal que a tensão do capacitor volte a seu valor máximo com a mesma polaridade inicial?

Passo 2

Escrevendo a equação do circuito LC usando a lei de Kirchhoff de tensões: a tensão no indutor mais a tensão no capacitor somam zero. Chamando a carga do capacitor de q(t) (em coulombs) e a corrente de i(t)=\dfrac{dq}{dt}, temos:
L\frac{di}{dt} + \frac{q}{C} = 0.
Substituindo i=\dfrac{dq}{dt} obtemos a equação diferencial para q(t):
L\frac{d^2 q}{dt^2} + \frac{q}{C} = 0.
Aqui: L é a indutância (henry), C é a capacitância (farad), q(t) é a carga no capacitor (coulomb). Esta é a equação do oscilador harmônico simples.

Passo 3

A solução geral da equação homogênea
L\frac{d^2 q}{dt^2} + \frac{q}{C} = 0
é uma combinação de senos e cossenos. Dividindo por L e definindo a frequência angular \omega por \displaystyle \omega=\sqrt{\frac{1}{LC}}, a equação fica
\frac{d^2 q}{dt^2} + \omega^2 q = 0,
cuja solução geral é
q(t)=A\cos(\omega t)+B\sin(\omega t),
onde A e B são constantes determinadas pelas condições iniciais.

Passo 4

Aplicamos as condições iniciais: em t=0 a carga é q(0)=Q_0 e a corrente é i(0)=\dfrac{dq}{dt}\big|_{t=0}=0.
Da solução q(t)=A\cos(\omega t)+B\sin(\omega t) temos q(0)=A=Q_0. Derivando,
i(t)=\frac{dq}{dt} = -A\omega\sin(\omega t)+B\omega\cos(\omega t).
Em t=0 isso dá i(0)=B\omega=0, logo B=0. Portanto a solução com essas condições é muito simples:
q(t)=Q_0\cos(\omega t).
A tensão no capacitor é \;V_C(t)=\dfrac{q(t)}{C}. Usando \;V_0=\dfrac{Q_0}{C} temos
V_C(t)=V_0\cos(\omega t).
Isso faz sentido físico: no instante t=0 a tensão é V_0 (máximo com a polaridade inicial) e ela varia cosinusoidalmente.

Passo 5

Queremos o menor tempo t>0 em que V_C(t) volta a atingir o valor máximo com a mesma polaridade inicial, ou seja, queremos o menor t>0 tal que V_C(t)=V_0. Da expressão \;V_C(t)=V_0\cos(\omega t) isso exige \cos(\omega t)=1. As soluções são
\omega t = 2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.
Para t>0 o menor n positivo é n=1, portanto o menor tempo positivo é
t=\frac{2\pi}{\omega}.
Mas pelo enunciado o período T já foi dado e sabemos que \;T=\dfrac{2\pi}{\omega}. Substituindo obtemos o resultado direto:
t=T.
Física e intuição: após um período completo T o sistema retorna ao mesmo estado (mesma carga, mesma corrente), então a tensão do capacitor volta ao máximo com a mesma polaridade. No meio do período, em t=T/2, a tensão alcança o máximo com polaridade oposta (valor -V_0).

Resposta

t=T

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