Circuito em paralelo: se colocássemos os três elementos do experimento em paralelo.
a. Calcule o valor da corrente aplicada em cada elemento (módulo e fase).
b. Calcule o valor da tensão aplicada em cada elemento (módulo e fase).
c. Calcule a impedância total desse circuito.
d. Calcule potência ativa, reativa, aparente e o fator de potência na fonte.

Passo 1

O enunciado pede quatro coisas sobre um circuito onde os três elementos estão conectados em paralelo:
a. Calcular a corrente em cada elemento (módulo e fase).
b. Calcular a tensão aplicada em cada elemento (módulo e fase).
c. Calcular a impedância total do circuito.
d. Calcular potência ativa, reativa, aparente e o fator de potência na fonte.
Informações fornecidas no enunciado: o enunciado menciona “os três elementos do experimento” e que eles estão em paralelo, mas não foram enviados valores numéricos (como as impedâncias ou a tensão/fonte). Portanto não há dados numéricos para obter resultados numéricos finais. Vou então:
  • Explicar passo a passo a teoria necessária (phasors, impedância, admitância, potência em regime senoidal) de forma didática.
  • Derivar as fórmulas gerais que permitem calcular exatamente cada item quando você tiver os valores das impedâncias \tilde{Z}_1,\tilde{Z}_2,\tilde{Z}_3 e da tensão de fonte \tilde{V}_s (ou, alternativamente, a corrente de fonte).
  • Mostrar como obter módulo e ângulo a partir das formas complexas (para você aplicar em prova).
    Se depois você me passar os valores numéricos eu calculo tudo numericamente, mas sem perguntar agora, eu apresento a teoria e as fórmulas prontas para aplicar.

Passo 2

Conceitos básicos que vamos usar (explicação didática e simples).
  • Phasor: Em regime senoidal estacionário, cada tensão ou corrente pode ser representada por um número complexo (phasor) \tilde{V}=|\tilde{V}|e^{j\theta_V} ou \tilde{I}=|\tilde{I}|e^{j\theta_I}. O módulo |\tilde{V}| é a amplitude eficaz (por exemplo, Valor RMS se usarmos RMS), e \theta_V é a fase em radianos (ou graus).
  • Impedância: Representa oposição à corrente no domínio fasorial. Para um elemento genérico \tilde{Z}=R+jX, onde R é resistência (parte real) e X reatância (parte imaginária). A fase da impedância é \angle \tilde{Z}=\arctan\!\left(\dfrac{X}{R}\right).
  • Admittância: \tilde{Y}=\dfrac{1}{\tilde{Z}}=G+jB (com condutância G e susceptância B). Em paralelo é mais fácil somar admittâncias do que somar impedâncias.
  • Regra prática para paralelo: A tensão em cada ramo paralelo é a mesma (idealmente igual à tensão da fonte). A corrente em cada ramo é a tensão dividida pela impedância do ramo.

Passo 3

Corrente em cada elemento — derivação e fórmulas.
  • Suponha que a fonte fornece a tensão fasorial \tilde{V}_s aplicada aos três ramos em paralelo. As impedâncias dos ramos são \tilde{Z}_1,\tilde{Z}_2,\tilde{Z}_3.
  • A corrente no ramo k (com k=1,2,3) é, pela lei de Ohm em fasores:
\tilde{I}_k = \frac{\tilde{V}_s}{\tilde{Z}_k}.
Explanação: na prova, você lembra que em paralelo a tensão é a mesma e a corrente depende de quanto cada impedância “deixa passar” — mais impedância = menos corrente. A fórmula acima vem diretamente de \tilde{V}=\tilde{Z}\tilde{I} rearranjada.
  • Módulo e fase de \tilde{I}_k:
|\tilde{I}_k|=\frac{|\tilde{V}_s|}{|\tilde{Z}_k|}, \qquad \angle \tilde{I}_k = \angle \tilde{V}_s - \angle \tilde{Z}_k.
Explicação de como calcular na prova: calcule primeiro o módulo de \tilde{Z}_k como |\tilde{Z}_k|=\sqrt{R_k^2+X_k^2} se você tiver R_k e X_k. Calcule o ângulo \angle \tilde{Z}_k=\arctan(X_k/R_k) (atenção aos quadrantes se R_k for negativo ou zero). Então divide o módulo de \tilde{V}_s pelo módulo de \tilde{Z}_k e subtrai os ângulos.

Passo 4

Tensão aplicada em cada elemento — explicação.
  • Em paralelo, a tensão em cada elemento é igual à tensão fornecida pela fonte (assumindo fios ideais sem queda interna).
\tilde{V}_1=\tilde{V}_2=\tilde{V}_3=\tilde{V}_s.
  • Módulo e fase: simplesmente |\tilde{V}_1|=|\tilde{V}_s| e \angle \tilde{V}_1=\angle \tilde{V}_s.
    Dica prática para prova: Se a fonte for dada como V_{rms}\angle\theta ou como V_{m}\cos(\omega t+\varphi), converta para phasor RMS antes de aplicar as fórmulas (por exemplo, se der amplitude pico V_m, o phasor RMS será V_m/\sqrt{2} com o mesmo ângulo).

Passo 5

Impedância total do circuito paralelo — derivação com admittâncias.
  • Defina a admittância de cada ramo:
\tilde{Y}_k = \frac{1}{\tilde{Z}_k}\qquad (k=1,2,3).
  • A admittância total é soma das admittâncias:
\tilde{Y}_{eq} = \tilde{Y}_1+\tilde{Y}_2+\tilde{Y}_3.
  • A impedância equivalente (vista pela fonte) é o inverso da admittância total:
\tilde{Z}_{eq} = \frac{1}{\tilde{Y}_{eq}} = \frac{1}{\dfrac{1}{\tilde{Z}_1}+\dfrac{1}{\tilde{Z}_2}+\dfrac{1}{\tilde{Z}_3}}.
Como calcular na prova sem calculadora: quando \tilde{Z}_k são números complexos, transforme cada em G_k+jB_k (invertendo \tilde{Z}_k), some as partes reais e imaginárias separadamente e então faça o inverso:
\tilde{Y}_{eq} = G_{eq}+jB_{eq}, \qquad \tilde{Z}_{eq} = \frac{G_{eq}-jB_{eq}}{G_{eq}^2+B_{eq}^2}.
Observação prática: inverter complexos pode ser feito multiplicando numerador e denominador pelo conjugado. Ex.: \dfrac{1}{R+jX}=\dfrac{R-jX}{R^2+X^2}=G+jB.

Passo 6

Corrente total fornecida pela fonte.
  • Com \tilde{V}_s conhecida e \tilde{Z}_{eq} obtida, a corrente total da fonte é:
\tilde{I}_s = \frac{\tilde{V}_s}{\tilde{Z}_{eq}}.
  • Alternativamente, como somatório das correntes dos ramos:
\tilde{I}_s = \tilde{I}_1+\tilde{I}_2+\tilde{I}_3.
Dica: em paralelo você pode checar consistência calculando \tilde{I}_s pelas duas formas e confirmando igualdade (boa checagem em prova).

Passo 7

Potências (ativa, reativa, aparente) — fórmulas, interpretação e cálculo por ramo e total.
  • Potência complexa (ou potência aparente complexa) por ramo k:
\tilde{S}_k = \tilde{V}_k \tilde{I}_k^{*}.
Aqui \tilde{I}_k^{*} é o conjugado complexo de \tilde{I}_k. Explicação: a definição de potência complexa é assim para separar a parte que converte-se em calor (ativa) e a que fica oscilando (reativa).
  • Substituindo \tilde{I}_k=\dfrac{\tilde{V}_s}{\tilde{Z}_k} e usando \tilde{V}_k=\tilde{V}_s:
\tilde{S}_k = \tilde{V}_s\left(\frac{\tilde{V}_s}{\tilde{Z}_k}\right)^{*} = \frac{|\tilde{V}_s|^2}{\tilde{Z}_k^{*}}.
  • A potência ativa por ramo é P_k=\Re(\tilde{S}_k). A potência reativa por ramo é Q_k=\Im(\tilde{S}_k). A potência aparente por ramo é |\tilde{S}_k|=\sqrt{P_k^2+Q_k^2}.
  • A potência total fornecida pela fonte é soma das potências de todos os ramos (porque potências se somam em paralelo):
\tilde{S}_{tot} = \tilde{S}_1+\tilde{S}_2+\tilde{S}_3.
Logo
P_{tot}=\Re(\tilde{S}_{tot}),\qquad Q_{tot}=\Im(\tilde{S}_{tot}),\qquad S_{app}=|\tilde{S}_{tot}|.
  • Fator de potência na fonte:
\text{FP} = \frac{P_{tot}}{S_{app}} = \cos\varphi,
onde \varphi=\angle \tilde{S}_{tot}. Interpretação: se \varphi>0 (ângulo positivo de S) então Q>0 e carga é indutiva (atraso), se \varphi<0 carga é capacitiva (avanço).

Passo 8

Como calcular na prática sem calculadora (estratégias de prova e dicas passo a passo).
  1. Converta todos os valores dados para forma complexa \tilde{Z}_k=R_k+jX_k e a fonte para phasor RMS \tilde{V}_s=V_m\angle\theta_V (ou RMS já dado).
  2. Para cada \tilde{Z}_k:
    • Calcule |\tilde{Z}_k|=\sqrt{R_k^2+X_k^2} e \angle\tilde{Z}_k=\arctan(X_k/R_k).
    • Calcule \tilde{I}_k=\dfrac{\tilde{V}_s}{\tilde{Z}_k} (módulo e ângulo usando divisão de fasores).
  3. Calcule admittâncias \tilde{Y}_k=\dfrac{1}{\tilde{Z}_k} (multiplicando numerador e denominador pelo conjugado: \dfrac{R_k-jX_k}{R_k^2+X_k^2}).
  4. Some \tilde{Y}_{eq}=\sum \tilde{Y}_k = G_{eq}+jB_{eq}.
  5. Inverse para obter \tilde{Z}_{eq}=\dfrac{G_{eq}-jB_{eq}}{G_{eq}^2+B_{eq}^2}.
  6. Obtenha \tilde{I}_s=\tilde{V}_s/\tilde{Z}_{eq} ou \tilde{I}_s=\sum \tilde{I}_k (cheque igualdade).
  7. Calcule \tilde{S}_k=\dfrac{|\tilde{V}_s|^2}{\tilde{Z}_k^{*}} e some para \tilde{S}_{tot}. Extraia P_{tot} e Q_{tot}.
  8. Calcule |\tilde{S}_{tot}| e o fator de potência \text{FP}=P_{tot}/|\tilde{S}_{tot}|. Identifique lead/lag pelo sinal de Q_{tot}.
    Dica de checagem: unidades coerentes (V em RMS, Z em ohms, então P em watts). Se tiver dúvidas com ângulos, resolva um ramo numérico pequeno no rascunho para confirmar o sinal do ângulo.

Passo 9

Exemplo rápido (numérico simples só para ilustrar a aplicação das fórmulas — você não pediu um exemplo, mas eu incluo para clarear como aplicar as fórmulas).
Suponha (apenas ilustração): \tilde{V}_s=100\angle 0^\circ\\ \text{V}, \tilde{Z}_1=10+j0\\ \Omega, \tilde{Z}_2=0- j20\\ \Omega (capacitivo), \tilde{Z}_3=5+j5\\ \Omega.
Passos (resumidos): calcular \tilde{I}_k=\tilde{V}_s/\tilde{Z}_k para cada ramo, \tilde{Y}_k=1/\tilde{Z}_k, somar para \tilde{Y}_{eq}, inverter para \tilde{Z}_{eq}, e calcular \tilde{S}_k=|\tilde{V}_s|^2/\tilde{Z}_k^{*} e somar. (Não executo os cálculos numéricos completos aqui porque o enunciado original não forneceu valores — este bloco serve como mapa mental de como você faria passo a passo numa prova).

Resposta

(a) \displaystyle \tilde{I}_k=\frac{\tilde{V}_s}{\tilde{Z}_k},\qquad |\tilde{I}_k|=\frac{|\tilde{V}_s|}{|\tilde{Z}_k|},\qquad \angle\tilde{I}_k=\angle\tilde{V}_s-\angle\tilde{Z}_k para k=1,2,3.
(b) \displaystyle \tilde{V}_1=\tilde{V}_2=\tilde{V}_3=\tilde{V}_s,\qquad |\tilde{V}_k|=|\tilde{V}_s|,\qquad \angle\tilde{V}_k=\angle\tilde{V}_s.
(c) \displaystyle \tilde{Z}_{eq}=\frac{1}{\tilde{Y}_{eq}} com \displaystyle \tilde{Y}_{eq}=\frac{1}{\tilde{Z}_1}+\frac{1}{\tilde{Z}_2}+\frac{1}{\tilde{Z}_3}. Equivalentemente \displaystyle \tilde{Z}_{eq}=\frac{1}{\dfrac{1}{\tilde{Z}_1}+\dfrac{1}{\tilde{Z}_2}+\dfrac{1}{\tilde{Z}_3}}.
(d) Por ramo:
\displaystyle \tilde{S}_k=\tilde{V}_s\tilde{I}_k^{*}=\frac{|\tilde{V}_s|^2}{\tilde{Z}_k^{*}},\qquad P_k=\Re(\tilde{S}_k),\qquad Q_k=\Im(\tilde{S}_k),\qquad S_{k,\text{app}}=|\tilde{S}_k|.
Total:
\displaystyle \tilde{S}_{tot}=\tilde{S}_1+\tilde{S}_2+\tilde{S}_3,
\displaystyle P_{tot}=\Re(\tilde{S}_{tot}),\quad Q_{tot}=\Im(\tilde{S}_{tot}),\quad S_{app}=|\tilde{S}_{tot}|,
\displaystyle \text{FP}=\frac{P_{tot}}{S_{app}}=\cos(\angle\tilde{S}_{tot}).
(Observação: não foi possível dar valores numéricos porque o enunciado não forneceu \tilde{Z}_1,\tilde{Z}_2,\tilde{Z}_3 nem \tilde{V}_s. Se você me mandar esses valores eu já calculo tudo numericamente seguindo exatamente os passos acima.)

Exercícios relacionados