No circuito do problema 8, foi substituído o capacitor por um indutor de indutância
. Suponha que a chave
seja ligada no tempo
e a corrente esteja aumentando no circuito. Determine a expressão das correntes que passam pelos resistores.
Resp.
Resp.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um circuito onde substituímos um capacitor por um indutor com indutância $ L $. A chave $ S $ é fechada no tempo $ t = 0 $, e a corrente começa a aumentar no circuito. Nosso objetivo é encontrar as expressões das correntes que passam pelos resistores $ R_1 $, $ R_2 $ e $ R $ ao longo do tempo. Para isso, vamos precisar entender como os indutores se comportam em circuitos elétricos e usar um pouco de cálculo para resolver as equações envolvidas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como um indutor funciona. Um indutor resiste a mudanças na corrente que passa por ele. Quando a chave é fechada, a corrente começa a aumentar, e o indutor tenta “empurrar” essa mudança, criando uma força contra a variação da corrente. A relação que descreve isso é dada pela lei de indução de Faraday:
Aqui, $ V_L $ é a tensão no indutor, $ L $ é a indutância, e $ \frac{di}{dt} $ é a taxa de variação da corrente com o tempo.
Passo 3
No nosso circuito, além do indutor $ L $, temos resistores $ R_1 $, $ R_2 $ e $ R $. Vamos considerar a fonte de tensão $ \varepsilon $ fornecida pelo circuito. Com a chave fechada, podemos aplicar a Lei de Kirchhoff das Tensões, que diz que a soma das quedas de tensão ao redor de um circuito fechado é igual à tensão total fornecida pela fonte.
Passo 4
Aplicando a Lei de Kirchhoff das Tensões ao nosso circuito, temos:
Onde $ V_R $ é a tensão total nos resistores. Sabemos que $ V_R = iR $, onde $ i $ é a corrente que passa pelo resistor $ R $. Substituindo isso na equação, temos:
Passo 5
Agora, temos uma equação diferencial que podemos resolver para encontrar a corrente $ i(t) $:
Para resolver essa equação, vamos reorganizar e separar as variáveis:
Passo 6
Essa é uma equação diferencial linear que podemos resolver usando um fator integrante. O fator integrante $ \mu(t) $ é dado por:
Multiplicando toda a equação pelo fator integrante:
Passo 7
A equação se torna:
Agora, integramos ambos os lados em relação ao tempo $ t $:
Passo 8
Realizando a integração:
Onde $ C $ é a constante de integração. Agora, resolvemos para $ i(t) $:
Passo 9
Para encontrar a constante $ C $, usamos a condição inicial. No tempo $ t = 0 $, a corrente $ i(0) $ é zero, já que a chave acabou de ser fechada. Substituindo na equação:
Passo 10
Substituindo $ C $ de volta na expressão para $ i(t) $:
Passo 11
Agora que temos a expressão para a corrente $ i(t) $ no resistor $ R $, precisamos encontrar as correntes nos resistores $ R_1 $ e $ R_2 $. Para isso, usamos a divisão de corrente e a análise de malhas ou nós no circuito, dependendo de como os resistores estão conectados.
Passo 12
Assumindo que $ R_1 $ e $ R_2 $ estão em paralelo e combinados com $ R $, podemos expressar a corrente em cada resistor utilizando as resistências equivalentes e a expressão que já encontramos para $ i(t) $. Após realizar os cálculos e simplificações necessárias, chegamos às expressões das correntes nos resistores $ R_1 $, $ R_2 $ e $ R $: