Uma bobina de indutância
e resistência
e submetida a uma diferença de potencial
. Depois de quantas constantes de tempo (apos a ligacao da bateria) terá sido acumulada metade da energia final de equilíbrio?
Resp. (a)
(b)
.
Resp. (a)
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma bobina com indutância $ L = 5,H $ e resistência $ R = 20,\Omega $ conectada a uma fonte de tensão de $ \varepsilon = 100,V
\tau_L $) a energia acumulada na bobina será metade da energia final de equilíbrio. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de circuitos RL e a fórmula da constante de tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a constante de tempo ($ \tau_L $) em um circuito RL. A constante de tempo é dada por:
Ela nos indica quanto tempo o circuito leva para alcançar aproximadamente 63% do seu valor final após uma mudança, como ligar a bateria.
Passo 3
Agora, vamos calcular a constante de tempo para o nosso circuito:
Então, uma constante de tempo é 0,25 segundos.
Passo 4
A energia armazenada em uma bobina é dada por:
Onde $ I $ é a corrente no circuito. A corrente em um circuito RL cresce com o tempo segundo a fórmula:
A energia final de equilíbrio ($ U_{final} $) ocorre quando $ t $ tende ao infinito, então:
Passo 5
Queremos saber após quantas constantes de tempo a energia acumulada $ U(t) $ seja metade da energia final $ U_{final} $. Então, estabelecemos:
Substituindo as fórmulas das energias:
Simplificando:
Passo 6
Extraindo a raiz quadrada dos dois lados:
Agora, igualamos isso à expressão da corrente com o tempo:
Cancelando $ \frac{\varepsilon}{R} $ dos dois lados:
Passo 7
Isolando a exponencial:
Aplicando o logaritmo natural em ambos os lados:
Resposta
(b) $ t = 0,69, \tau_{\mathrm{L}} $