Uma bobina de indutância L=5 H e resistência R=20 Omega e submetida a uma diferença de potencial varepsilon=100 V. Depois de quantas constantes de tempo (apos a ligacao da bateria) terá sido acumulada metade da energia final de equilíbrio?
Resp. (a) U=63 J (b) t=0,69 tauL.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma bobina com indutância $ L = 5,H $ e resistência $ R = 20,\Omega $ conectada a uma fonte de tensão de $ \varepsilon = 100,V L = 5,H é \tau_L $) a energia acumulada na bobina será metade da energia final de equilíbrio. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de circuitos RL e a fórmula da constante de tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a constante de tempo ($ \tau_L $) em um circuito RL. A constante de tempo é dada por:
tauL
Ela nos indica quanto tempo o circuito leva para alcançar aproximadamente 63% do seu valor final após uma mudança, como ligar a bateria.

Passo 3

Agora, vamos calcular a constante de tempo para o nosso circuito:
tauL = 5,H20,Omega = 0,25,s
Então, uma constante de tempo é 0,25 segundos.

Passo 4

A energia armazenada em uma bobina é dada por:
U = 12 L I^2
Onde $ I $ é a corrente no circuito. A corrente em um circuito RL cresce com o tempo segundo a fórmula:
I
A energia final de equilíbrio ($ U_{final} $) ocorre quando $ t $ tende ao infinito, então:
I(t) = varepsilonR (1 - e^-t/tauL)

Passo 5

Queremos saber após quantas constantes de tempo a energia acumulada $ U(t) $ seja metade da energia final $ U_{final} $. Então, estabelecemos:
U(t)
Substituindo as fórmulas das energias:
Ufinal
Simplificando:
U(t) = 12 Ufinal

Passo 6

Extraindo a raiz quadrada dos dois lados:
I(t) = varepsilonR cdot 1raiz2
Agora, igualamos isso à expressão da corrente com o tempo:
varepsilonR (1 - e^-t/tauL) = varepsilonR cdot 1raiz2
Cancelando $ \frac{\varepsilon}{R} $ dos dois lados:
varepsilonR

Passo 7

Isolando a exponencial:
e^-t/tauL = 1 - 1raiz2 approx 0,2929
Aplicando o logaritmo natural em ambos os lados:
-ttauL = ln(0,2929)
t = -tauL cdot ln(0,2929) approx 0,69,tauL

Resposta

(b) $ t = 0,69, \tau_{\mathrm{L}} $

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