Um circuito R C tem constante de tempo R C.
Determine:
Tempo para a energia atingir uma fração f do valor máximo (carga)

Passo 1

O enunciado pede: “Tempo para a energia atingir uma fração f do valor máximo (carga)” num circuito R C com constante de tempo \tau = R C. Informações e hipóteses que vou usar (tudo que o enunciado dá ou que é padrão nesse problema):
  • A constante de tempo do circuito é \tau = R C.
  • Assume-se a carga de um capacitor a partir de t=0 com uma fonte de tensão constante V_0 (processo padrão de carga); a energia máxima armazenada no capacitor, quando ele está totalmente carregado a V_0, é U_{\max}=\tfrac{1}{2}C V_0^2.
  • A incógnita é o tempo t em função de \tau e da fração f tal que U(t)=f\,U_{\max}.

Passo 2

Lembrete-prático: tensão no capacitor durante a carga. Vou obter a expressão de \,V_C(t)\, (tensão no capacitor) porque a energia depende de V_C(t).
Equação do circuito (Lei de Kirchhoff + definição de capacitor):
R\,i(t)+V_C(t)=V_0,
e a corrente no capacitor satisfaz
i(t)=C\frac{dV_C}{dt}.
Substituindo:
R C\frac{dV_C}{dt}+V_C(t)=V_0.

Passo 3

Resolver a equação diferencial linear para V_C(t). Esta é uma equação do tipo
\tau\frac{dV_C}{dt}+V_C=V_0,
onde \tau=RC. Método (fácil): solução da homogênea + particular. A homogênea \tau\,dV_C/dt+V_C=0 V_C^{(h)}(t)=A e^{-t/\tau}. Uma solução particular constante é V_C^{(p)}=V_0. Com condição inicial usual V_C(0)=0 (capacitor descarregado no início), obtemos a constante A= -V_0. Logo:
V_C(t)=V_0\bigl(1-e^{-t/\tau}\bigr)=V_0\bigl(1-e^{-t/(RC)}\bigr).
Aqui cada símbolo significa:
  • V_C(t): tensão no capacitor no instante t.
  • V_0: tensão da fonte (tensão final).
  • R: resistência, C: capacitância, \tau=RC: constante de tempo.

Passo 4

Energia no capacitor e fração pedida. A energia armazenada num capacitor com capacitância C e tensão V é
U=\tfrac{1}{2}C V^2.
Portanto, a energia em função do tempo é
U(t)=\tfrac{1}{2}C\bigl(V_C(t)\bigr)^2 =\tfrac{1}{2}C V_0^2\bigl(1-e^{-t/(RC)}\bigr)^2.
A energia máxima (quando t\to\infty) é
U_{\max}=\tfrac{1}{2}C V_0^2.
Definindo a fração f por
f=\frac{U(t)}{U_{\max}},
substituindo obtemos a relação simples
f=\bigl(1-e^{-t/(RC)}\bigr)^2.

Passo 5

Resolver a equação acima para t. Começando de
f=\bigl(1-e^{-t/(RC)}\bigr)^2,
tirando raiz não-negativa (energia e 1-e^{-t/(RC)} são não-negativos durante a carga):
\sqrt{f}=1-e^{-t/(RC)}.
Isolando o exponencial:
e^{-t/(RC)}=1-\sqrt{f}.
Aplicando logaritmo natural (e lembrando que 0\le 1-\sqrt{f}\le 1 para 0\le f\le 1):
-\frac{t}{RC}=\ln\bigl(1-\sqrt{f}\bigr).
Multiplicando por -RC:
t=-RC\;\ln\bigl(1-\sqrt{f}\bigr).

Passo 6

Observações importantes e domínio:
  • A fórmula exige 0\le f<1. Para f=1 tem-se 1-\sqrt{f}=0 e \ln 0=-\infty, ou seja t\to\infty (leva tempo infinito para atingir exatamente a energia máxima).
  • Para f=0 obtém-se t=0 (energia inicial zero).
  • É comum reescrever usando \tau=RC:
t=-\tau\ln\bigl(1-\sqrt{f}\bigr).
Exemplo numérico rápido (só para intuição): para f=\tfrac{1}{2} tem \sqrt{f}=0,7071\ldots, então 1-\sqrt{f}\approx0,2929 e
t\approx -RC\ln(0,2929)\approx 1,229\,RC.

Resposta

t=-RC\;\ln\bigl(1-\sqrt{f}\bigr) \
(válido para 0\le f<1; para f=1 tem t\to\infty).

Exercícios relacionados