Um circuito
tem constante de tempo
.
Determine:
Tempo para a energia atingir uma fração
do valor máximo (carga)
Determine:
Tempo para a energia atingir uma fração
Passo 1
O enunciado pede: “Tempo para a energia atingir uma fração
do valor máximo (carga)” num circuito
com constante de tempo
. Informações e hipóteses que vou usar (tudo que o enunciado dá ou que é padrão nesse problema):
- A constante de tempo do circuito é
. - Assume-se a carga de um capacitor a partir de
com uma fonte de tensão constante (processo padrão de carga); a energia máxima armazenada no capacitor, quando ele está totalmente carregado a , é . - A incógnita é o tempo
em função de e da fração tal que .
Passo 2
Lembrete-prático: tensão no capacitor durante a carga. Vou obter a expressão de
(tensão no capacitor) porque a energia depende de
.
Equação do circuito (Lei de Kirchhoff + definição de capacitor):
e a corrente no capacitor satisfaz
Substituindo:
Passo 3
Resolver a equação diferencial linear para
. Esta é uma equação do tipo
onde
. Método (fácil): solução da homogênea + particular. A homogênea
dá
. Uma solução particular constante é
. Com condição inicial usual
(capacitor descarregado no início), obtemos a constante
. Logo:
Aqui cada símbolo significa:
-
: tensão no capacitor no instante . -
: tensão da fonte (tensão final). -
: resistência, : capacitância, : constante de tempo.
Passo 4
Energia no capacitor e fração pedida. A energia armazenada num capacitor com capacitância
e tensão
é
Portanto, a energia em função do tempo é
A energia máxima (quando
) é
Definindo a fração
por
substituindo obtemos a relação simples
Passo 5
Resolver a equação acima para
. Começando de
tirando raiz não-negativa (energia e
são não-negativos durante a carga):
Isolando o exponencial:
Aplicando logaritmo natural (e lembrando que
para
):
Multiplicando por
:
Passo 6
Observações importantes e domínio:
- A fórmula exige
. Para tem-se e , ou seja (leva tempo infinito para atingir exatamente a energia máxima). - Para
obtém-se (energia inicial zero). - É comum reescrever usando
:
Exemplo numérico rápido (só para intuição): para
tem
, então
e
Resposta
(válido para