Um tabuleiro retangular tem duas linhas e quatro colunas. Cada uma de suas oito casas é pintada de uma cor dentre três disponíveis. Uma coluna é chamada de corte se as suas duas casas são da mesma cor. De quantas maneiras é possível pintar o tabuleiro retangular de modo que haja exatamente um corte?
(A) 648
(B) 864
(C) 1296
(D) 2592
(E) 5184
(A) 648
(B) 864
(C) 1296
(D) 2592
(E) 5184
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- O tabuleiro tem
linhas e colunas (ou seja, casas no total). - Há
cores disponíveis para pintar cada casa. - Uma coluna é chamada de “corte” se as suas \emph{duas} casas (a de cima e a de baixo) têm a mesma cor.
- Queremos contar de quantas maneiras pintar o tabuleiro de modo que haja exatamente \emph{uma} coluna que seja corte (ou seja, exatamente uma coluna com as duas casas da mesma cor e as outras três colunas com as duas casas de cores diferentes).
O que é pedido: o número total de pinturas do tabuleiro satisfazendo a condição “exatamente um corte”.
Passo 2
Escolher qual coluna será o corte.
- Há
colunas e precisamos que exatamente delas seja o corte, então há escolhas possíveis para a coluna que será o corte. - Portanto, número de escolhas para a coluna do corte:
.
(Isto é apenas escolher a posição do corte; a coloração ainda não foi determinada.)
Passo 3
Para a coluna escolhida como corte: escolher a cor que aparece nas duas casas dessa coluna.
- Como a coluna é um corte, as duas casas dessa coluna têm a mesma cor.
- Há
cores disponíveis, então há escolhas para a cor uniforme dessa coluna. - Logo, para a coluna do corte existem
maneiras de colorir as duas casas.
Passo 4
Contar as maneiras de colorir uma coluna que \emph{não} é corte (ou seja, as duas casas dessa coluna devem ter cores diferentes).
- Para uma coluna não-corte, a casa de cima pode receber qualquer uma das
cores. - Depois de escolher a cor de cima, a casa de baixo deve ter cor diferente da de cima; restam
cores possíveis. - Usando a regra do produto (se uma escolha tem
opções e outra tem opções independentes, então as duas juntas têm opções), o número de colorações possíveis para uma coluna não-corte é
Passo 5
Contar as maneiras de colorir as três colunas que não são corte.
- As três colunas não-corte são independentes entre si (a escolha de cores em uma não impede combinações nas outras), então pelo princípio multiplicativo para escolhas independentes, o total para as três colunas é
Passo 6
Combinar todas as escolhas para obter o total.
- Escolhas independentes a combinar:
- escolher a coluna que será o corte:
maneiras; - escolher a cor do corte:
maneiras; - colorir as três colunas não-corte:
maneiras.
- escolher a coluna que será o corte:
- Pelo princípio multiplicativo, o total de pinturas com exatamente um corte é
Passo 7
Fazer as contas numéricas passo a passo (sem pular etapas).
- Primeiro calcule
: - Em seguida, calcule
: - Finalmente, calcule
:
Passo 8
Verificação rápida da lógica (sanity check) e nota didática.
- Verificação: não há sobrecontagem porque fixamos primeiro a coluna que é corte (assim cada pintura com exatamente um corte é contada uma única vez, associada à sua coluna corte). As colorações das colunas são independentes, exceto pela condição “não igual” nas colunas não-corte, que tratamos ao contar
opções por coluna não-corte. - Observação prática para prova: sempre que há simetria por posição (aqui as colunas), muitas vezes começa-se escolhendo a posição(es) que satisfazem a propriedade especial, depois se conta as opções locais e multiplica tudo. Isso evita contagens repetidas.
Resposta
2592