Um tabuleiro retangular tem duas linhas e quatro colunas. Cada uma de suas oito casas é pintada de uma cor dentre três disponíveis. Uma coluna é chamada de corte se as suas duas casas são da mesma cor. De quantas maneiras é possível pintar o tabuleiro retangular de modo que haja exatamente um corte?
(A) 648
(B) 864
(C) 1296
(D) 2592
(E) 5184

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • O tabuleiro tem \,2\, linhas e \,4\, colunas (ou seja, \,8\, casas no total).
  • \,3\, cores disponíveis para pintar cada casa.
  • Uma coluna é chamada de “corte” se as suas \emph{duas} casas (a de cima e a de baixo) têm a mesma cor.
  • Queremos contar de quantas maneiras pintar o tabuleiro de modo que haja exatamente \emph{uma} coluna que seja corte (ou seja, exatamente uma coluna com as duas casas da mesma cor e as outras três colunas com as duas casas de cores diferentes).
O que é pedido: o número total de pinturas do tabuleiro satisfazendo a condição “exatamente um corte”.

Passo 2

Escolher qual coluna será o corte.
  • \,4\, colunas e precisamos que exatamente \,1\, delas seja o corte, então há \,4\, escolhas possíveis para a coluna que será o corte.
  • Portanto, número de escolhas para a coluna do corte: \,4\,.
(Isto é apenas escolher a posição do corte; a coloração ainda não foi determinada.)

Passo 3

Para a coluna escolhida como corte: escolher a cor que aparece nas duas casas dessa coluna.
  • Como a coluna é um corte, as duas casas dessa coluna têm a mesma cor.
  • \,3\, cores disponíveis, então há \,3\, escolhas para a cor uniforme dessa coluna.
  • Logo, para a coluna do corte existem \,3\, maneiras de colorir as duas casas.

Passo 4

Contar as maneiras de colorir uma coluna que \emph{não} é corte (ou seja, as duas casas dessa coluna devem ter cores diferentes).
  • Para uma coluna não-corte, a casa de cima pode receber qualquer uma das \,3\, cores.
  • Depois de escolher a cor de cima, a casa de baixo deve ter cor diferente da de cima; restam \,2\, cores possíveis.
  • Usando a regra do produto (se uma escolha tem a opções e outra tem b opções independentes, então as duas juntas têm a\times b opções), o número de colorações possíveis para uma coluna não-corte é 3 \times 2 = 6.

Passo 5

Contar as maneiras de colorir as três colunas que não são corte.
  • As três colunas não-corte são independentes entre si (a escolha de cores em uma não impede combinações nas outras), então pelo princípio multiplicativo para escolhas independentes, o total para as três colunas é 6 \times 6 \times 6 = 6^{3}.

Passo 6

Combinar todas as escolhas para obter o total.
  • Escolhas independentes a combinar:
    1. escolher a coluna que será o corte: \,4\, maneiras;
    2. escolher a cor do corte: \,3\, maneiras;
    3. colorir as três colunas não-corte: \,6^{3} maneiras.
  • Pelo princípio multiplicativo, o total de pinturas com exatamente um corte é 4 \times 3 \times 6^{3}.

Passo 7

Fazer as contas numéricas passo a passo (sem pular etapas).
  • Primeiro calcule \,6^{3}: 6^{3} = 6 \times 6 \times 6 = 36 \times 6 = 216.
  • Em seguida, calcule 3 \times 6^{3}: 3 \times 216 = 648.
  • Finalmente, calcule 4 \times (3 \times 6^{3}): 4 \times 648 = 2592.

Passo 8

Verificação rápida da lógica (sanity check) e nota didática.
  • Verificação: não há sobrecontagem porque fixamos primeiro a coluna que é corte (assim cada pintura com exatamente um corte é contada uma única vez, associada à sua coluna corte). As colorações das colunas são independentes, exceto pela condição “não igual” nas colunas não-corte, que tratamos ao contar 6 opções por coluna não-corte.
  • Observação prática para prova: sempre que há simetria por posição (aqui as colunas), muitas vezes começa-se escolhendo a posição(es) que satisfazem a propriedade especial, depois se conta as opções locais e multiplica tudo. Isso evita contagens repetidas.

Resposta

2592

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