Considere um sistema de N partículas com energia mecânica total E, cuja dinâmica está representada pela hamiltoniana H(q, p). Suponha que \mathcal{R}_{o} é a região do espaço de fase ( q, p ), de volume \Omega_{o}, onde estão contidos todos os estados (com energia E ) do sistema no instante t_{o}. Denote por \mathcal{N}_{o} ao número total de estados contidos em \mathcal{R}_{o}. Também suponha que \mathcal{R}_{t} é a região do mesmo espaço de fase ( q, p ), no instante t, de volume \Omega_{t}, obtida levando cada ponto de \mathcal{R}_{o} no ponto correspondente de \mathcal{R}_{t} por meio da evolução temporal gerada pela hamiltoniana. Denote por \mathcal{N}_{t} ao número total de estados contidos em \mathcal{R}_{t}.
a) Mostre que (1.0 pt)
\frac{\mathcal{N}_{o}}{\Omega_{o}}=\frac{\mathcal{N}_{t}}{\Omega_{t}}
b) Explique de que forma este resultado pode ser aplicado para deduzir a equação de Liouville da mecânica estatística. (1.0 pt)

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dado: um sistema de N partículas com energia total E e hamiltoniana H(q,p).
  • Dado: \mathcal{R}_{o} é uma região do espaço de fases (q,p) no instante t_{o}, de volume \Omega_{o}. O número de estados (pontos do espaço de fases) contidos em \mathcal{R}_{o} é \mathcal{N}_{o}.
  • Dado: \mathcal{R}_{t} é a imagem de \mathcal{R}_{o} pelo fluxo temporal gerado por H, no instante t; seu volume é \Omega_{t} e o número de estados contidos é \mathcal{N}_{t}.
  • O enunciado pede:
    (a) Mostrar que \displaystyle \frac{\mathcal{N}_{o}}{\Omega_{o}}=\frac{\mathcal{N}_{t}}{\Omega_{t}}.
    (b) Explicar como usar esse resultado para deduzir a equação de Liouville da mecânica estatística.

Passo 2

Entender a dinâmica no espaço de fases: equações de Hamilton e o campo de velocidade no espaço de fases.
  • As equações de Hamilton para cada coordenada generalizada q_i e momento conjugado p_i são
\dot{q}_i=\frac{\partial H}{\partial p_i},\qquad \dot{p}_i=-\frac{\partial H}{\partial q_i},
onde \dot{q}_i e \dot{p}_i são as derivadas temporais. Aqui i=1,\dots,3N (ou 1,\dots,N, dependendo da notação para graus de liberdade).
  • Definimos o campo de vetores no espaço de fases
v(q,p) = (\dot{q}_1,\dots,\dot{q}_{n},\dot{p}_1,\dots,\dot{p}_{n}),
com n o número de graus de liberdade (tipicamente n=3N).

Passo 3

Mostrar que o fluxo hamiltoniano é incompressível (divergência zero) — passo chave para conservar volumes.
  • Calcule a divergência do campo v no espaço de fases:
\mathrm{div}\, v = \sum_{i=1}^{n}\left(\frac{\partial \dot{q}_i}{\partial q_i} + \frac{\partial \dot{p}_i}{\partial p_i}\right).
  • Substituindo as equações de Hamilton:
\frac{\partial \dot{q}_i}{\partial q_i} = \frac{\partial}{\partial q_i}\left(\frac{\partial H}{\partial p_i}\right) = \frac{\partial^2 H}{\partial q_i\,\partial p_i},
\frac{\partial \dot{p}_i}{\partial p_i} = \frac{\partial}{\partial p_i}\left(-\frac{\partial H}{\partial q_i}\right) = -\frac{\partial^2 H}{\partial p_i\,\partial q_i}.
  • Somando os termos para cada i aparece cancelamento:
\frac{\partial \dot{q}_i}{\partial q_i} + \frac{\partial \dot{p}_i}{\partial p_i} = \frac{\partial^2 H}{\partial q_i\,\partial p_i} - \frac{\partial^2 H}{\partial p_i\,\partial q_i}=0.
  • Portanto
\mathrm{div}\, v = \sum_{i=1}^{n} 0 = 0.
  • Interpretação física: o fluxo gerado por H não comprime nem dilata volumes infinitesimais no espaço de fases — é um fluxo incompressível.

Passo 4

Concluir que volumes elementares são preservados no tempo (teorema de Liouville em forma geométrica) e relacionar isso ao problema.
  • Se \mathrm{div}\, v=0, a equação que governa a variação temporal do determinante jacobiano J(t)=\det\!\left(\dfrac{\partial(q(t),p(t))}{\partial(q(0),p(0))}\right) é
\frac{dJ}{dt} = (\mathrm{div}\, v)\, J = 0,
logo J(t) é constante no tempo. Como em t=0 tomamos mapeamento identidade, J(t)=1 para todo t.
  • Consequência prática: um pequeno volume elementar d\Omega_{o} em \mathcal{R}_{o} é levado em um volume elementar d\Omega_{t} em \mathcal{R}_{t} com d\Omega_{t}=d\Omega_{o}. Integrando sobre toda a região, obtém-se \Omega_{t}=\Omega_{o}.

Passo 5

Argumentar que o número de estados \mathcal{N} em cada região é preservado pela evolução hamiltoniana.
  • A evolução determinada por H é determinística e invertível no espaço de fases (as equações de Hamilton são de primeira ordem e fornecem um fluxo difeomórfico). Isso implica que cada ponto de \mathcal{R}_{o} é levado a um único ponto de \mathcal{R}_{t}, e o mapeamento é bijetivo entre conjuntos de pontos.
  • Portanto o número de pontos (estados) contidos na região é preservado: \mathcal{N}_{t}=\mathcal{N}_{o}.

Passo 6

Combinar conservação de volume com preservação do número de estados para obter o resultado pedido em (a).
  • De \mathcal{N}_{t}=\mathcal{N}_{o} e \Omega_{t}=\Omega_{o} segue imediatamente
\frac{\mathcal{N}_{o}}{\Omega_{o}}=\frac{\mathcal{N}_{t}}{\Omega_{t}}.
  • Interpretação: a densidade média de estados por unidade de volume de fase fica invariante ao longo do fluxo hamiltoniano.

Passo 7

Usar esse resultado para deduzir a equação de Liouville (parte (b)): introdução da densidade de probabilidade no espaço de fases e derivação da equação.
  • Defina a densidade de estados (ou densidade de probabilidade no espaço de fases) como uma função f(q,p,t) tal que o número de estados em um elemento de volume d\Omega é f(q,p,t)\,d\Omega. Para uma região pequena \mathcal{R},
\mathcal{N}_{\mathcal{R}}(t)=\int_{\mathcal{R}} f(q,p,t)\, d\Omega.
  • O resultado do item (a) diz, localmente, que a densidade por unidade de volume é transportada sem variação quando seguida ao longo do fluxo. Em linguagem matemática: a derivada material (ou convectiva) de f ao longo das trajectórias do fluxo é zero:
\frac{d}{dt} f(q(t),p(t),t) = 0.
  • Aplicando a regra da cadeia para a derivada total:
\frac{d}{dt} f(q(t),p(t),t) = \frac{\partial f}{\partial t} + \sum_{i=1}^{n}\left(\dot{q}_i\frac{\partial f}{\partial q_i} + \dot{p}_i\frac{\partial f}{\partial p_i}\right) = 0.
  • Substituindo \dot{q}_i e \dot{p}_i pelas equações de Hamilton obtém-se a forma usual:
\frac{\partial f}{\partial t} + \sum_{i=1}^{n}\left(\frac{\partial H}{\partial p_i}\frac{\partial f}{\partial q_i} - \frac{\partial H}{\partial q_i}\frac{\partial f}{\partial p_i}\right)=0.
  • Esta equação pode ser escrita de maneira compacta usando o colchete de Poisson \{\,\cdot\,,\,\cdot\,\}:
\frac{\partial f}{\partial t} + \{f,H\}=0,
onde por definição
\{f,H\}=\sum_{i=1}^{n}\left(\frac{\partial f}{\partial q_i}\frac{\partial H}{\partial p_i}-\frac{\partial f}{\partial p_i}\frac{\partial H}{\partial q_i}\right).

Passo 8

Explicar as duas interpretações equivalentes e dar uma intuição física final.
  • Interpretação 1 (derivada convectiva): f é constante ao longo de cada trajetória no espaço de fases — a densidade de microestados é transportada sem compressão.
  • Interpretação 2 (equação de continuidade): escrevendo o fluxo de partículas em fase como f v, a equação de continuidade \partial_t f + \mathrm{div}(f v)=0 com \mathrm{div}\,v=0 reduz-se à mesma forma de Liouville.
  • Intuição física: a dinâmica hamiltoniana conserva “volume de informação” no espaço de fases — não se cria nem se destrói densidade de estados, apenas se rearranja.

Resposta

\displaystyle \frac{\mathcal{N}_{o}}{\Omega_{o}}=\frac{\mathcal{N}_{t}}{\Omega_{t}}
\displaystyle \frac{\partial \rho}{\partial t}+\{\rho,H\}=0\quad\text{(equação de Liouville),}çã
\displaystyle \text{ou equivalentemente }\frac{\partial \rho}{\partial t}+\sum_{i=1}^{n}\Big(\frac{\partial H}{\partial p_i}\frac{\partial \rho}{\partial q_i}-\frac{\partial H}{\partial q_i}\frac{\partial \rho}{\partial p_i}\Big)=0.

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