Considere um sistema de
partículas com energia mecânica total
, cuja dinâmica está representada pela hamiltoniana
. Suponha que
é a região do espaço de fase (
), de volume
, onde estão contidos todos os estados (com energia
) do sistema no instante
. Denote por
ao número total de estados contidos em
. Também suponha que
é a região do mesmo espaço de fase (
), no instante
, de volume
, obtida levando cada ponto de
no ponto correspondente de
por meio da evolução temporal gerada pela hamiltoniana. Denote por
ao número total de estados contidos em
.
a) Mostre que (1.0 pt)
b) Explique de que forma este resultado pode ser aplicado para deduzir a equação de Liouville da mecânica estatística. (1.0 pt)
a) Mostre que (1.0 pt)
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Dado: um sistema de
partículas com energia total e hamiltoniana . - Dado:
é uma região do espaço de fases no instante , de volume . O número de estados (pontos do espaço de fases) contidos em é . - Dado:
é a imagem de pelo fluxo temporal gerado por , no instante ; seu volume é e o número de estados contidos é . - O enunciado pede:
(a) Mostrar que.
(b) Explicar como usar esse resultado para deduzir a equação de Liouville da mecânica estatística.
Passo 2
Entender a dinâmica no espaço de fases: equações de Hamilton e o campo de velocidade no espaço de fases.
- As equações de Hamilton para cada coordenada generalizada
e momento conjugado são
onde
e
são as derivadas temporais. Aqui
(ou
, dependendo da notação para graus de liberdade).
- Definimos o campo de vetores no espaço de fases
com
o número de graus de liberdade (tipicamente
).
Passo 3
Mostrar que o fluxo hamiltoniano é incompressível (divergência zero) — passo chave para conservar volumes.
- Calcule a divergência do campo
no espaço de fases:
- Substituindo as equações de Hamilton:
- Somando os termos para cada
aparece cancelamento:
- Portanto
- Interpretação física: o fluxo gerado por
não comprime nem dilata volumes infinitesimais no espaço de fases — é um fluxo incompressível.
Passo 4
Concluir que volumes elementares são preservados no tempo (teorema de Liouville em forma geométrica) e relacionar isso ao problema.
- Se
, a equação que governa a variação temporal do determinante jacobiano é
logo
é constante no tempo. Como em
tomamos mapeamento identidade,
para todo
.
- Consequência prática: um pequeno volume elementar
em é levado em um volume elementar em com . Integrando sobre toda a região, obtém-se .
Passo 5
Argumentar que o número de estados
em cada região é preservado pela evolução hamiltoniana.
- A evolução determinada por
é determinística e invertível no espaço de fases (as equações de Hamilton são de primeira ordem e fornecem um fluxo difeomórfico). Isso implica que cada ponto de é levado a um único ponto de , e o mapeamento é bijetivo entre conjuntos de pontos. - Portanto o número de pontos (estados) contidos na região é preservado:
.
Passo 6
Combinar conservação de volume com preservação do número de estados para obter o resultado pedido em (a).
- De
e segue imediatamente
- Interpretação: a densidade média de estados por unidade de volume de fase fica invariante ao longo do fluxo hamiltoniano.
Passo 7
Usar esse resultado para deduzir a equação de Liouville (parte (b)): introdução da densidade de probabilidade no espaço de fases e derivação da equação.
- Defina a densidade de estados (ou densidade de probabilidade no espaço de fases) como uma função
tal que o número de estados em um elemento de volume é . Para uma região pequena ,
- O resultado do item (a) diz, localmente, que a densidade por unidade de volume é transportada sem variação quando seguida ao longo do fluxo. Em linguagem matemática: a derivada material (ou convectiva) de
ao longo das trajectórias do fluxo é zero:
- Aplicando a regra da cadeia para a derivada total:
- Substituindo
e pelas equações de Hamilton obtém-se a forma usual:
- Esta equação pode ser escrita de maneira compacta usando o colchete de Poisson
:
onde por definição
Passo 8
Explicar as duas interpretações equivalentes e dar uma intuição física final.
- Interpretação 1 (derivada convectiva):
é constante ao longo de cada trajetória no espaço de fases — a densidade de microestados é transportada sem compressão. - Interpretação 2 (equação de continuidade): escrevendo o fluxo de partículas em fase como
, a equação de continuidade com reduz-se à mesma forma de Liouville. - Intuição física: a dinâmica hamiltoniana conserva “volume de informação” no espaço de fases — não se cria nem se destrói densidade de estados, apenas se rearranja.