Em um circuito RC, a corrente inicial é 8 mA e a constante de tempo é 0.5 s . Determine a carga inicial no capacitor.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • Dado: a corrente inicial do circuito é i(0)=8\\ \text{mA}.
  • Dado: a constante de tempo do circuito é \tau = 0,5\\ \text{s}.
  • Pedido: determinar a carga inicial no capacitor, Q_0.

Passo 2

Entendendo os símbolos e o que significa cada coisa (explicação didática):
  • q(t) é a carga no capacitor no instante t. A carga tem unidade de coulomb ( \text{C}).
  • i(t) é a corrente que passa pelo circuito no instante t. A corrente é a taxa de variação da carga:
i(t)=\frac{dq(t)}{dt}.
  • A constante de tempo \tau de um circuito RC vale
\tau = R\,C,
onde R é a resistência (ohms) e C é a capacitância (farads). A unidade de \tau é segundo ( \text{s}). A constante de tempo mede com que rapidez o capacitor carrega ou descarrega: depois de um intervalo igual a \tau a grande parte da variação já ocorreu.

Passo 3

Equação diferencial que controla a descarga (ou a forma geral do comportamento exponencial):
  • No caso típico de descarga do capacitor através de R (ou para muitos problemas de RC linear), a carga satisfaz a equação
\frac{dq}{dt}=-\frac{q}{RC}.
  • Essa equação é obtida aplicando a lei de Ohm e a relação v_C=q/C, mas aqui aceitamos a forma padrão. Substitindo RC=\tau fica
\frac{dq}{dt}=-\frac{q}{\tau}.

Passo 4

Solução da equação diferencial (passo a passo de integração):
  • Separe variáveis:
\frac{dq}{q}=-\frac{dt}{\tau}.
  • Integre dos instantes 0 a t e da carga inicial Q_0 a q(t):
\int_{Q_0}^{q(t)}\frac{1}{q}\,dq = -\int_{0}^{t}\frac{1}{\tau}\,dt.
  • As integrais dão
\ln\!\bigg(\frac{q(t)}{Q_0}\bigg) = -\frac{t}{\tau}.
  • Exponenciando, obtemos a forma familiar:
q(t)=Q_0\,e^{-t/\tau}.

Passo 5

Expressão para a corrente em função do tempo e relação com a carga inicial:
  • Como i(t)=dq/dt, derivando q(t) obtemos
i(t)=\frac{dq}{dt} = -\frac{Q_0}{\tau}\,e^{-t/\tau}.
  • No instante inicial t=0 temos
i(0)=-\frac{Q_0}{\tau}.
Aqui o sinal negativo indica sentido da corrente (faz sentido físico), mas para obter a magnitude da carga inicial basta usar a relação de módulos:
|i(0)|=\frac{Q_0}{\tau}\quad\Longrightarrow\quad Q_0 = |i(0)|\,\tau.
Esta é a fórmula prática que vamos usar: a carga inicial é o produto da corrente inicial pela constante de tempo.

Passo 6

Aplicando os valores numéricos (atenção às unidades, explicado passo a passo):
  • Converter a corrente para ampère: 8\\ \text{mA}=8\times10^{-3}\\ \text{A}.
  • A constante de tempo é \tau=0,5\\ \text{s}.
  • Substituindo na fórmula Q_0 = |i(0)|\,\tau:
Q_0 = \bigl(8\times10^{-3}\\ \text{A}\bigr)\times\bigl(0,5\\ \text{s}\bigr).
  • Lembrete de unidades: \text{A}\cdot\text{s}=\text{C} (ampère vezes segundo é coulomb).

Passo 7

Conselho de prova e reforço:
  • Na prova, memorizando a forma q(t)=Q_0 e^{-t/\tau} e que i(t)=-\dfrac{Q_0}{\tau}e^{-t/\tau}, você rapidamente chega em Q_0=I_0\tau (usando magnitudes).
  • Um exemplo rápido para treinar: se i(0)=2\\ \text{mA} e \tau=1\\ \text{s}, então Q_0=(2\times10^{-3})(1)=2\times10^{-3}\\ \text{C}=2\\ \text{mC}.

Resposta

4\times10^{-3}\\ \text{C}

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