Em um circuito RC, a corrente inicial é 8 mA e a constante de tempo é 0.5 s . Determine a carga inicial no capacitor.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
- Dado: a corrente inicial do circuito é
. - Dado: a constante de tempo do circuito é
. - Pedido: determinar a carga inicial no capacitor,
.
Passo 2
Entendendo os símbolos e o que significa cada coisa (explicação didática):
-
é a carga no capacitor no instante . A carga tem unidade de coulomb ( ). -
é a corrente que passa pelo circuito no instante . A corrente é a taxa de variação da carga:
- A constante de tempo
de um circuito vale
onde
é a resistência (ohms) e
é a capacitância (farads). A unidade de
é segundo (
). A constante de tempo mede com que rapidez o capacitor carrega ou descarrega: depois de um intervalo igual a
a grande parte da variação já ocorreu.
Passo 3
Equação diferencial que controla a descarga (ou a forma geral do comportamento exponencial):
- No caso típico de descarga do capacitor através de
(ou para muitos problemas de linear), a carga satisfaz a equação
- Essa equação é obtida aplicando a lei de Ohm e a relação
, mas aqui aceitamos a forma padrão. Substitindo fica
Passo 4
Solução da equação diferencial (passo a passo de integração):
- Separe variáveis:
- Integre dos instantes
a e da carga inicial a :
- As integrais dão
- Exponenciando, obtemos a forma familiar:
Passo 5
Expressão para a corrente em função do tempo e relação com a carga inicial:
- Como
, derivando obtemos
- No instante inicial
temos
Aqui o sinal negativo indica sentido da corrente (faz sentido físico), mas para obter a magnitude da carga inicial basta usar a relação de módulos:
Esta é a fórmula prática que vamos usar: a carga inicial é o produto da corrente inicial pela constante de tempo.
Passo 6
Aplicando os valores numéricos (atenção às unidades, explicado passo a passo):
- Converter a corrente para ampère:
. - A constante de tempo é
. - Substituindo na fórmula
:
- Lembrete de unidades:
(ampère vezes segundo é coulomb).
Passo 7
Conselho de prova e reforço:
- Na prova, memorizando a forma
e que , você rapidamente chega em (usando magnitudes). - Um exemplo rápido para treinar: se
e , então .