Dois capacitores C_{1}=4 \mu \mathrm{~F} e C_{2}=12 \mu \mathrm{~F} estão em série ligados a uma bateria de 18 V . Determine:
  • a capacitância equivalente
  • a carga no circuito
  • a ddp em cada capacitor

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte (tudo retirado do enunciado):
  • Capacitores: C_{1}=4\\ \mu\mathrm{F} e C_{2}=12\\ \mu\mathrm{F}.
  • Bateria: tensão V_{\text{bat}}=18\\ \mathrm{V}.
    O que é pedido:
  • a) a capacitância equivalente do conjunto em série;
  • b) a carga no circuito (ou seja, a carga em cada capacitor);
  • c) a diferença de potencial (ddp) em cada capacitor: V_{1} em C_{1} e V_{2} em C_{2}.

Passo 2

Entender a regra para capacitores em série (a ideia-chave).
  • Quando capacitores estão em série, a carga armazenada em cada um é a mesma. Isso acontece porque a mesma corrente que passa pelos terminais percorre a cadeia; portanto se o capacitor à esquerda ganha +Q numa placa, a próxima recebe -Q e assim por diante, ficando todas com mesma magnitude de carga Q.
  • A tensão total fornecida pela bateria distribui-se entre os capacitores: V_{\text{bat}}=V_{1}+V_{2}.
  • A capacitância equivalente C_{\text{eq}} é definida por Q=C_{\text{eq}}V_{\text{bat}}.
  • Usando V_{i}=Q/C_{i} e V_{\text{bat}}=V_{1}+V_{2} obtemos a fórmula padrão:
\frac{1}{C_{\text{eq}}}=\frac{1}{C_{1}}+\frac{1}{C_{2}}.
Explicação rápida da fórmula (derivação curta e didática): como
V_{\text{bat}}=V_{1}+V_{2}=\frac{Q}{C_{1}}+\frac{Q}{C_{2}}=Q\left(\frac{1}{C_{1}}+\frac{1}{C_{2}}\right),
dividindo ambos os lados por V_{\text{bat}} e isolando C_{\text{eq}}=Q/V_{\text{bat}} chega-se à expressão acima.

Passo 3

Calcular a capacitância equivalente numericamente. É prático fazer as contas em \mu\mathrm{F} porque as unidades se cancelam nas razões.
\frac{1}{C_{\text{eq}}}=\frac{1}{C_{1}}+\frac{1}{C_{2}}=\frac{1}{4}+\frac{1}{12}.
Fazendo a soma de frações (sem calculadora):
\frac{1}{4}=\frac{3}{12},\quad \frac{3}{12}+\frac{1}{12}=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}.
Logo
\frac{1}{C_{\text{eq}}}=\frac{1}{3}\quad\Rightarrow\quad C_{\text{eq}}=3\\ \mu\mathrm{F}.
Observação prática: trabalhar em \mu\mathrm{F} mantém os números pequenos e permite fazer frações exatas.

Passo 4

Calcular a carga Q usando Q=C_{\text{eq}}V_{\text{bat}}.
Primeiro note que em unidades microfarad e volt, o produto dá microcoulomb:
Q=C_{\text{eq}}V_{\text{bat}}=3\\ \mu\mathrm{F}\times 18\\ \mathrm{V}.
Fazendo a multiplicação:
3\times 18=54,
portanto
Q=54\\ \mu\mathrm{C}=54\times10^{-6}\\ \mathrm{C}.
Comentário amigável: foi só multiplicar 3 por 18 e manter a unidade \mu\mathrm{C}.

Passo 5

Lembrar que em série a carga em cada capacitor é igual a Q. Assim cada capacitor tem Q=54\\ \mu\mathrm{C}.
Agora para calcular as tensões individuais usamos V_{i}=Q/C_{i}. Essa fórmula vem direto da definição C_i=Q/V_i rearranjada.

Passo 6

Calcular a ddp em C_{1}:
V_{1}=\frac{Q}{C_{1}}=\frac{54\\ \mu\mathrm{C}}{4\\ \mu\mathrm{F}}.
As unidades \mu\mathrm{C}/\mu\mathrm{F} deixam a tensão em volts. Faça a divisão de números:
\frac{54}{4}=13{,}5.
Portanto
V_{1}=13{,}5\\ \mathrm{V}.

Passo 7

Calcular a ddp em C_{2}:
V_{2}=\frac{Q}{C_{2}}=\frac{54\\ \mu\mathrm{C}}{12\\ \mu\mathrm{F}}=\frac{54}{12}=4{,}5.
Logo
V_{2}=4{,}5\\ \mathrm{V}.

Passo 8

Verificação rápida (checagem de consistência): a soma das quedas deve ser a tensão da bateria:
V_{1}+V_{2}=13{,}5\\ \mathrm{V}+4{,}5\\ \mathrm{V}=18\\ \mathrm{V}=V_{\text{bat}}.
Tudo bate certinho — bom sinal!
Dica para prova (rápida e prática): em séries maiores mantenha os \mu nas unidades para cancelar e faça as frações exatas sempre que possível; maior capacitância recebe menor tensão porque V=Q/C (capacitância maior “dilui” a mesma carga e resulta em menor tensão).

Resposta

C_{\text{eq}}=3\\ \mu\mathrm{F}
Q=54\\ \mu\mathrm{C}
V_{1}=13{,}5\\ \mathrm{V}
V_{2}=4{,}5\\ \mathrm{V}

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