Um circuito RC em regime AC, de constante de tempo capacitiva \tau_{C} sofre um processo de descarga. Sabendo-se que a energia armazenada no capacitor é U(t)=\frac{q(t)^{2}}{2 C}, encontre o tempo necessário, em termos de \tau_{C}, para que a energia armazenada seja a metade do seu valor inicial.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa só:
  • Um circuito RC em descarga tem uma constante de tempo capacitiva chamada \tau_{C}.
  • A energia armazenada no capacitor é dada por U(t)=\frac{q(t)^{2}}{2C},
onde q(t) é a carga no capacitor em função do tempo e C é a capacitância.
  • Pergunta: encontre o tempo necessário, em termos de \tau_{C}, para que a energia armazenada fique igual à metade do valor inicial U(0).
Dados úteis que vamos usar (retirados do enunciado):
  • \tau_{C} (constante de tempo, dada).
  • U(t)=\dfrac{q(t)^{2}}{2C}.
  • Queremos t tal que U(t)=\dfrac{1}{2}U(0).

Passo 2

Por que podemos relacionar q(t) com \tau_{C}? Durante a descarga num circuito RC simples, a corrente que sai do capacitor é proporcional à carga presente nele. Isso leva à equação diferencial (passo a passo, sem pular):
  • A corrente i(t) é a taxa de variação da carga: i(t)=\frac{dq}{dt}.
  • Pela lei de Ohm, a tensão no resistor é V_R(t)=i(t)R. A tensão no capacitor é V_C(t)=\dfrac{q(t)}{C}.
  • Na descarga, a tensão no resistor e no capacitor são iguais em módulo e têm sinal oposto (malha simples), resultando em: i(t)R = \frac{q(t)}{C}.
  • Substituindo i(t)=\dfrac{dq}{dt} obtemos a equação diferencial: R\frac{dq}{dt} = \frac{q}{C}.
  • Rearranjando e lembrando que \tau_{C}=RC, obtemos (com sinal correto para descarga, a corrente reduz a carga): \frac{dq}{dt} = -\frac{q}{RC} = -\frac{q}{\tau_{C}}.
Essa é uma equação diferencial de primeira ordem, linear e separável. Agora vamos resolvê-la.

Passo 3

Resolvendo a equação diferencial \dfrac{dq}{dt} = -\dfrac{q}{\tau_{C}}:
  • Separe variáveis: \frac{dq}{q} = -\frac{dt}{\tau_{C}}.
  • Integre ambos os lados (integral indefinida com constante de integração, ou use condições iniciais): \int \frac{dq}{q} = -\int \frac{dt}{\tau_{C}} \quad\Rightarrow\quad \ln|q| = -\frac{t}{\tau_{C}} + \text{constante}.
  • Aplicando a condição inicial q(0)=q_{0} (carga inicial), a constante é \ln q_{0}. Assim: \ln q = -\frac{t}{\tau_{C}} + \ln q_{0}.
  • Exponenciando: q(t)=q_{0}\,e^{-t/\tau_{C}}.
Então a carga decai exponencialmente com constante de tempo \tau_{C}. (Dica prática: memorizar q(t)=q_{0}e^{-t/\tau_{C}} ajuda muito em provas.)

Passo 4

Agora escrevemos a energia U(t) em função do tempo usando q(t):
  • Substituindo q(t) em U(t)=\dfrac{q(t)^{2}}{2C} temos: U(t)=\frac{q_{0}^{2}}{2C}\,e^{-2t/\tau_{C}}.
  • Definindo a energia inicial \;U(0)=U_{0}=\dfrac{q_{0}^{2}}{2C}, isso fica mais simples: U(t)=U_{0}\,e^{-2t/\tau_{C}}.
Queremos o tempo t tal que U(t)=\dfrac{1}{2}U_{0}. Então:
  • Coloque a condição e isole o exponencial: U_{0}\,e^{-2t/\tau_{C}}=\frac{1}{2}U_{0}\quad\Rightarrow\quad e^{-2t/\tau_{C}}=\frac{1}{2}.
  • Tome o logaritmo natural dos dois lados: -\,\frac{2t}{\tau_{C}}=\ln\!\left(\frac{1}{2}\right)=-\ln 2.
  • Resolva para t: t=\frac{\tau_{C}}{2}\,\ln 2.

Passo 5

Interpretação e checagem rápida:
  • A energia decai com o dobro da taxa do quadrado da carga (por isso aparece 2t/\tau_{C} no exponencial).
  • Em números, \ln 2 \approx 0,6931, então t\approx 0{,}3466\,\tau_{C}.
  • Resumo prático para a prova: para a energia cair pela metade, leva cerca de 0{,}347\,\tau_{C}. Um truque: sempre que a quantidade for proporcional ao quadrado de uma grandeza que decai como e^{-t/\tau}, a quantidade quadrática decai como e^{-2t/\tau}.
Força aí — você já tem a expressão pronta para colocar na prova; é curtinha e elegante.

Resposta

t=\dfrac{\tau_{C}}{2}\,\ln 2

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