Um circuito RC em regime AC, de constante de tempo capacitiva
sofre um processo de descarga. Sabendo-se que a energia armazenada no capacitor é
, encontre o tempo necessário, em termos de
, para que a energia armazenada seja a metade do seu valor inicial.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa só:
- Um circuito RC em descarga tem uma constante de tempo capacitiva chamada
. - A energia armazenada no capacitor é dada por
onde
é a carga no capacitor em função do tempo e
é a capacitância.
- Pergunta: encontre o tempo necessário, em termos de
, para que a energia armazenada fique igual à metade do valor inicial .
Dados úteis que vamos usar (retirados do enunciado):
-
(constante de tempo, dada). -
. - Queremos
tal que .
Passo 2
Por que podemos relacionar
com
? Durante a descarga num circuito RC simples, a corrente que sai do capacitor é proporcional à carga presente nele. Isso leva à equação diferencial (passo a passo, sem pular):
- A corrente
é a taxa de variação da carga: - Pela lei de Ohm, a tensão no resistor é
. A tensão no capacitor é . - Na descarga, a tensão no resistor e no capacitor são iguais em módulo e têm sinal oposto (malha simples), resultando em:
- Substituindo
obtemos a equação diferencial: - Rearranjando e lembrando que
, obtemos (com sinal correto para descarga, a corrente reduz a carga):
Essa é uma equação diferencial de primeira ordem, linear e separável. Agora vamos resolvê-la.
Passo 3
Resolvendo a equação diferencial
:
- Separe variáveis:
- Integre ambos os lados (integral indefinida com constante de integração, ou use condições iniciais):
- Aplicando a condição inicial
(carga inicial), a constante é . Assim: - Exponenciando:
Então a carga decai exponencialmente com constante de tempo
. (Dica prática: memorizar
ajuda muito em provas.)
Passo 4
Agora escrevemos a energia
em função do tempo usando
:
- Substituindo
em temos: - Definindo a energia inicial
, isso fica mais simples:
Queremos o tempo
tal que
. Então:
- Coloque a condição e isole o exponencial:
- Tome o logaritmo natural dos dois lados:
- Resolva para
:
Passo 5
Interpretação e checagem rápida:
- A energia decai com o dobro da taxa do quadrado da carga (por isso aparece
no exponencial). - Em números,
, então - Resumo prático para a prova: para a energia cair pela metade, leva cerca de
. Um truque: sempre que a quantidade for proporcional ao quadrado de uma grandeza que decai como , a quantidade quadrática decai como .
Força aí — você já tem a expressão pronta para colocar na prova; é curtinha e elegante.