Mostre que, num circuito RL, ao contrário do que acontece no resistor, a diferença de potencial no indutor
diminui com o tempo durante o primeiro semi - ciclo e aumenta com o tempo durante o segundo semi - ciclo do sinal de onda quadrada. Esse comportamento foi previsto nas suas experiências? Justifique.
Passo 1
O enunciado pede que eu mostre, para um circuito série
-
alimentado por um sinal de onda quadrada (ou seja, tensão aplicada que troca instantaneamente entre dois valores constantes em cada semi‑ciclo), que a diferença de potencial no indutor
tem o seguinte comportamento dentro de cada semi‑ciclo:
- durante o primeiro semi‑ciclo ela diminui com o tempo;
- durante o segundo semi‑ciclo ela aumenta com o tempo.
Informações dadas/assumidas (essas são as que vou usar explicitamente):
- o circuito é série
- , com resistência e indutância ; - a tensão aplicada é uma onda quadrada de amplitude
, que vale num semi‑ciclo e no semi‑ciclo seguinte (cada semi‑ciclo tem duração ); - a corrente no indutor é contínua no tempo (corrente no indutor não sofre saltos instantâneos), enquanto a tensão aplicada pode saltar instantaneamente;
- quero comparar também com o comportamento da queda de tensão no resistor
.
Passo 2
Escrevo a equação de circuito (Lei de Kirchhoff de tensões) para o circuito série quando a fonte fornece uma tensão
:
Reescrevendo a tensão no indutor:
Esta relação é central: dentro de cada semi‑ciclo
é uma constante (
ou
), portanto o comportamento temporal de
será determinado pelo termo
.
Passo 3
Defino a constante de tempo do circuito:
Para um semi‑ciclo em que
constante (vamos tomar esse semi‑ciclo como
), a equação para
é a ODE linear:
A solução geral (resposta ao degrau) é
onde o valor de regime é
Se a corrente inicial no início do primeiro semi‑ciclo for
(por exemplo, em um circuito ligado do repouso
), então
cresce exponencialmente de
para
com constante de tempo
.
Passo 4
Agora obtenho
durante esse primeiro semi‑ciclo usando
. Substituindo
e a solução para
:
Como
, simplifica para
Se
(caso usual ao ligar), isso dá a forma simples
Observe que esta função é uma exponencial decrescente: começa em
e tende a zero quando
(ou, mais realisticamente, até o fim do semi‑ciclo). Portanto, durante o primeiro semi‑ciclo
diminui com o tempo.
Explicação física curta: ao aplicar um degrau
o indutor inicialmente produz uma tensão igual à fonte (pois a corrente ainda é baixa), e à medida que a corrente cresce o termo
cresce, reduzindo
. Logo
decresce.
Passo 5
Contrastando com o resistor: a tensão no resistor é
No primeiro semi‑ciclo
está crescendo (da expressão do passo anterior), portanto
também cresce com o tempo. Assim, enquanto
cresce,
decresce — é o oposto, como pedido no enunciado.
Passo 6
Agora analiso o segundo semi‑ciclo. Suponha que no instante
a tensão da fonte salte instantaneamente para
. Dois fatos importantes:
- a corrente
é contínua no instante do salto: ; - porém
pode saltar instantaneamente porque salta.
Para
(segundo semi‑ciclo) a equação é
com valor de regime
A solução no segundo semi‑ciclo (medida a partir de
, com
conhecida) é
A tensão no indutor é novamente
Como
, isto simplifica para
Note que o fator multiplicador
é negativo (porque
tipicamente é positivo e
é negativo, logo
, com o menos tornando tudo negativo). Assim
durante o segundo semi‑ciclo é uma exponencial com valor inicial negativo e magnitude decrescendo exponencialmente, o que significa que
aumenta com o tempo (passa de um valor negativo grande para zero).
Em termos mais simples: imediatamente após o salto
passa de
para
, então
sofre um salto de valor positivo pequeno para um valor negativo grande; depois desse salto
evolui exponencialmente para zero — como a função é negativa, essa evolução faz
aumentar (ficar menos negativa).
Passo 7
Uma observação elegante e compacta (e que explica ambos os casos) vem diferenciando a expressão
no interior de um semi‑ciclo em que
é constante. Diferenciando
no tempo (com
constante) dá:
Isto é uma ODE simples cuja solução é exponencial e mostra que
sempre tende para zero exponencialmente dentro do semi‑ciclo. Assim:
- se
então e decresce; - se
então e aumenta (tende a zero).
Como, após cada comutação da onda quadrada, o sinal de
troca de sinal (devido ao salto da fonte e à continuidade de
), isso garante o comportamento pedido: decresce no semi‑ciclo onde é positivo e aumenta no semi‑ciclo onde é negativo.
Passo 8
Intuição física e previsão experimental:
- O indutor se opõe à mudança de corrente; na mudança instantânea da fonte a corrente não salta, mas o indutor “fornece” a diferença de potencial necessária (
salta) para ajustar a derivada . - Depois da transição, a derivada
decai exponencialmente com constante de tempo , logo também decai exponencialmente em magnitude. - Em experimento prático espera‑se observar picos (saltos) em
no instante de comutação da onda quadrada, seguidos por decaimento exponencial para zero dentro de cada semi‑ciclo. No resistor observa‑se justamente o comportamento oposto: em um semi‑ciclo aumenta (à medida que cresce) e no semi‑ciclo seguinte diminui (à medida que vai ao seu novo valor de regime). Portanto, sim: esse comportamento é previsto teoricamente e deve ser observado nas experiências (a forma exata — picos pronunciados ou pouco marcados — depende da relação entre e a duração do semi‑ciclo: se o decaimento é rápido e será quase zero exceto nos instantes de transição; se permanecerá significativo ao longo do semi‑ciclo).
Resposta
Durante cada semi‑ciclo em que a fonte vale
tem‑se
e no semi‑ciclo com
tem‑se
Sim — esse comportamento (saltos em
nas comutações e decaimento/exaltação exponencial dentro dos semi‑ciclos, oposto ao comportamento de
) é previsto pela equação do circuito
e é confirmado nas experiências; a forma observada depende da razão
.