Mostre que, num circuito RL, ao contrário do que acontece no resistor, a diferença de potencial no indutor V_{L}(t)=L \frac{d i(t)}{d t} diminui com o tempo durante o primeiro semi - ciclo e aumenta com o tempo durante o segundo semi - ciclo do sinal de onda quadrada. Esse comportamento foi previsto nas suas experiências? Justifique.

Passo 1

O enunciado pede que eu mostre, para um circuito série R- L alimentado por um sinal de onda quadrada (ou seja, tensão aplicada que troca instantaneamente entre dois valores constantes em cada semi‑ciclo), que a diferença de potencial no indutor
V_{L}(t)=L\,\frac{d i(t)}{d t}
tem o seguinte comportamento dentro de cada semi‑ciclo:
  • durante o primeiro semi‑ciclo ela diminui com o tempo;
  • durante o segundo semi‑ciclo ela aumenta com o tempo.
Informações dadas/assumidas (essas são as que vou usar explicitamente):
  • o circuito é série R- L, com resistência R e indutância L;
  • a tensão aplicada é uma onda quadrada de amplitude V_0, que vale +V_0 num semi‑ciclo e -V_0 no semi‑ciclo seguinte (cada semi‑ciclo tem duração T/2);
  • a corrente no indutor é contínua no tempo (corrente no indutor não sofre saltos instantâneos), enquanto a tensão aplicada pode saltar instantaneamente;
  • quero comparar também com o comportamento da queda de tensão no resistor V_R(t)=R\,i(t).

Passo 2

Escrevo a equação de circuito (Lei de Kirchhoff de tensões) para o circuito série quando a fonte fornece uma tensão v(t):
v(t)=R\,i(t)+L\,\frac{d i(t)}{d t}.
Reescrevendo a tensão no indutor:
V_{L}(t)=L\,\frac{d i(t)}{d t}=v(t)-R\,i(t).
Esta relação é central: dentro de cada semi‑ciclo v(t) é uma constante ( +V_0 ou -V_0), portanto o comportamento temporal de V_L será determinado pelo termo R\,i(t).

Passo 3

Defino a constante de tempo do circuito:
\tau=\frac{L}{R}.
Para um semi‑ciclo em que v(t)=+V_0 constante (vamos tomar esse semi‑ciclo como 0\le t< t_1), a equação para i(t) é a ODE linear:
\frac{d i}{d t}+\frac{R}{L}i=\frac{V_0}{L}.
A solução geral (resposta ao degrau) é
i(t)=I_{\infty}+ \bigl(i(0)-I_{\infty}\bigr)e^{-t/\tau},
onde o valor de regime é
I_{\infty}=\frac{V_0}{R}.
Se a corrente inicial no início do primeiro semi‑ciclo for i(0) (por exemplo, em um circuito ligado do repouso i(0)=0), então i(t) cresce exponencialmente de i(0) para I_{\infty} com constante de tempo \tau.

Passo 4

Agora obtenho V_L(t) durante esse primeiro semi‑ciclo usando V_L=v-Ri. Substituindo v=V_0 e a solução para i(t):
V_L(t)=V_0-R\left[I_{\infty}+ (i(0)-I_{\infty})e^{-t/\tau}\right].
Como R I_{\infty}=V_0, simplifica para
V_L(t) = -R\bigl(i(0)-I_{\infty}\bigr)e^{-t/\tau}.
Se i(0)=0 (caso usual ao ligar), isso dá a forma simples
V_L(t)=V_0\,e^{-t/\tau}\qquad(0\le t< t_1).
Observe que esta função é uma exponencial decrescente: começa em V_L(0)=V_0 e tende a zero quando t\to\infty (ou, mais realisticamente, até o fim do semi‑ciclo). Portanto, durante o primeiro semi‑ciclo V_L(t) diminui com o tempo.
Explicação física curta: ao aplicar um degrau +V_0 o indutor inicialmente produz uma tensão igual à fonte (pois a corrente ainda é baixa), e à medida que a corrente cresce o termo R i(t) cresce, reduzindo V_L=v-Ri. Logo V_L decresce.

Passo 5

Contrastando com o resistor: a tensão no resistor é
V_R(t)=R\,i(t).
No primeiro semi‑ciclo i(t) está crescendo (da expressão do passo anterior), portanto V_R(t) também cresce com o tempo. Assim, enquanto V_R(t) cresce, V_L(t) decresce — é o oposto, como pedido no enunciado.

Passo 6

Agora analiso o segundo semi‑ciclo. Suponha que no instante t_1 a tensão da fonte salte instantaneamente para v(t)=-V_0. Dois fatos importantes:
  • a corrente i(t) é contínua no instante do salto: i(t_1^-)=i(t_1^+);
  • porém V_L(t)=v(t)-R i(t) pode saltar instantaneamente porque v(t) salta.
Para t\ge t_1 (segundo semi‑ciclo) a equação é
\frac{d i}{d t}+\frac{R}{L}i=-\frac{V_0}{L},
com valor de regime
I_{\infty}^{(2)}=-\frac{V_0}{R}.
A solução no segundo semi‑ciclo (medida a partir de t_1, com i(t_1) conhecida) é
i(t)=I_{\infty}^{(2)}+\bigl(i(t_1)-I_{\infty}^{(2)}\bigr)e^{-(t-t_1)/\tau}.
A tensão no indutor é novamente
V_L(t)=v(t)-R i(t)=-V_0 - R\left[I_{\infty}^{(2)}+\bigl(i(t_1)-I_{\infty}^{(2)}\bigr)e^{-(t-t_1)/\tau}\right].
Como R I_{\infty}^{(2)}=-V_0, isto simplifica para
V_L(t) = -R\bigl(i(t_1)-I_{\infty}^{(2)}\bigr) e^{-(t-t_1)/\tau}.
Note que o fator multiplicador -R\bigl(i(t_1)-I_{\infty}^{(2)}\bigr) é negativo (porque i(t_1) tipicamente é positivo e I_{\infty}^{(2)}=-V_0/R é negativo, logo i(t_1)-I_{\infty}^{(2)}>0, com o menos tornando tudo negativo). Assim V_L(t) durante o segundo semi‑ciclo é uma exponencial com valor inicial negativo e magnitude decrescendo exponencialmente, o que significa que V_L(t) aumenta com o tempo (passa de um valor negativo grande para zero).
Em termos mais simples: imediatamente após o salto v passa de +V_0 para -V_0, então V_L sofre um salto de valor positivo pequeno para um valor negativo grande; depois desse salto V_L evolui exponencialmente para zero — como a função é negativa, essa evolução faz V_L aumentar (ficar menos negativa).

Passo 7

Uma observação elegante e compacta (e que explica ambos os casos) vem diferenciando a expressão V_L=v-Ri no interior de um semi‑ciclo em que v é constante. Diferenciando V_L no tempo (com v constante) dá:
\frac{d V_L}{d t} = -R\,\frac{d i}{d t} = -\frac{R}{L}\,V_L = -\frac{1}{\tau}\,V_L.
Isto é uma ODE simples cuja solução é exponencial e mostra que V_L sempre tende para zero exponencialmente dentro do semi‑ciclo. Assim:
  • se V_L(0^+)>0 então \dfrac{dV_L}{dt}<0 e V_L decresce;
  • se V_L(0^+)<0 então \dfrac{dV_L}{dt}>0 e V_L aumenta (tende a zero).
Como, após cada comutação da onda quadrada, o sinal de V_L troca de sinal (devido ao salto da fonte e à continuidade de i), isso garante o comportamento pedido: decresce no semi‑ciclo onde é positivo e aumenta no semi‑ciclo onde é negativo.

Passo 8

Intuição física e previsão experimental:
  • O indutor se opõe à mudança de corrente; na mudança instantânea da fonte a corrente não salta, mas o indutor “fornece” a diferença de potencial necessária ( V_L salta) para ajustar a derivada \dfrac{d i}{d t}.
  • Depois da transição, a derivada \dfrac{d i}{d t} decai exponencialmente com constante de tempo \tau=L/R, logo V_L=L\,\dfrac{d i}{d t} também decai exponencialmente em magnitude.
  • Em experimento prático espera‑se observar picos (saltos) em V_L no instante de comutação da onda quadrada, seguidos por decaimento exponencial para zero dentro de cada semi‑ciclo. No resistor \,V_R=R i(t)\, observa‑se justamente o comportamento oposto: em um semi‑ciclo V_R aumenta (à medida que i cresce) e no semi‑ciclo seguinte diminui (à medida que i vai ao seu novo valor de regime). Portanto, sim: esse comportamento é previsto teoricamente e deve ser observado nas experiências (a forma exata — picos pronunciados ou pouco marcados — depende da relação entre \tau e a duração do semi‑ciclo: se \tau\ll T/2 o decaimento é rápido e V_L será quase zero exceto nos instantes de transição; se \tau\gg T/2 V_L permanecerá significativo ao longo do semi‑ciclo).

Resposta

Durante cada semi‑ciclo em que a fonte vale +V_0 tem‑se
V_L(t)=V_0 e^{-t/\tau}\quad\text{(decresce exponencialmente)},
e no semi‑ciclo com v=-V_0 tem‑se
V_L(t)=-\bigl(V_0+R\,i(t_1)\bigr)e^{-(t-t_1)/\tau}\quad\text{(inicia negativo e aumenta exponencialmente para zero)}.
Sim — esse comportamento (saltos em V_L nas comutações e decaimento/exaltação exponencial dentro dos semi‑ciclos, oposto ao comportamento de V_R=R i) é previsto pela equação do circuito v=Ri+L\,di/dt e é confirmado nas experiências; a forma observada depende da razão \tau/(T/2).

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