Mostre que, num circuito RC, ao contrário do que acontece no capacitor, a diferença de potencial no resistor V_{R}(t)=R i(t)=R \frac{d q(t)}{d t} diminui com o tempo durante o primeiro semi-ciclo e aumenta com o tempo durante o segundo semi - ciclo do sinal de onda quadrada. Esse comportamento foi previsto nas suas experiências? Justifique.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, num circuito série R\!-\!C alimentado por um sinal de onda quadrada, a tensão no resistor
V_{R}(t)=R\,i(t)=R\,\frac{d q(t)}{d t}
tem o comportamento seguinte: durante o primeiro semi‑ciclo ela diminui com o tempo e, durante o segundo semi‑ciclo, ela aumenta com o tempo.
Informações / hipóteses que vamos usar (todas necessárias):
  • O circuito é série: fonte V_s(t) em série com resistor R e capacitor C.
  • O sinal de entrada é uma onda quadrada que alterna entre dois patamares constantes (chamarei genericamente de V_a e V_b). Em cada semi‑ciclo a fonte é constante (um degrau) igual a um desses valores.
  • As grandezas relevantes: carga do capacitor q(t), corrente i(t)=\dfrac{dq}{dt}, tensão no capacitor V_C(t)=\dfrac{q(t)}{C} e tensão no resistor V_R(t)=R\,i(t).
  • Não há imagens a usar.

Passo 2

Escrevendo a equação fundamental (Lei de Kirchhoff de tensões, KVL) para um instante em que a fonte está num patamar constante V_s (ou seja, dentro de um semi‑ciclo):
V_s = V_R + V_C.
Explicando cada termo:
  • V_s é a tensão da fonte (constante durante o semi‑ciclo).
  • V_R(t)=R\,i(t) é a queda de tensão no resistor (o que queremos estudar).
  • V_C(t)=\dfrac{q(t)}{C} é a tensão no capacitor (onde C é a capacitância).
Também usamos a relação entre corrente e tensão no capacitor:
i(t)=\frac{dq}{dt}=C\,\frac{dV_C}{dt}.
Substituindo V_R=R\,i=R C\,\dfrac{dV_C}{dt} na KVL, obtemos uma equação diferencial simples para V_C(t) enquanto V_s é constante.

Passo 3

Derivação e solução da equação diferencial para V_C(t) quando a fonte toma um valor constante V_s=V_2 a partir de t=0^+ (ou seja, logo depois de uma transição do quadrado):
A KVL reescrita é
V_2 = R C\,\frac{dV_C}{dt} + V_C.
Rearranjando:
\frac{dV_C}{dt} + \frac{1}{RC}\,V_C = \frac{V_2}{RC}.
Isto é uma equação diferencial linear de primeira ordem. A solução geral (modo padrão) para t\ge 0, com condição inicial V_C(0)=V_C(0^+), é
V_C(t)=V_2 + \bigl(V_C(0^+)-V_2\bigr)\,e^{-t/(RC)}.
Interpretação física: o capacitor relaxa exponencialmente a partir do seu valor inicial V_C(0^+) em direção ao valor da fonte V_2 com constante de tempo \tau=RC.

Passo 4

Agora obtemos V_R(t) em função de t. Usando V_R(t)=V_2-V_C(t) (pela KVL),
V_R(t)=V_2 - \Bigl[\,V_2 + \bigl(V_C(0^+)-V_2\bigr)\,e^{-t/(RC)}\Bigr] = \bigl(V_2 - V_C(0^+)\bigr)\,e^{-t/(RC)}.
Essa expressão é essencial. Ela diz que, dentro de cada semi‑ciclo (i.e. entre duas transições), V_R(t) é uma exponencial simples com amplitude inicial
V_R(0^+)=V_2 - V_C(0^+)
e que decai para zero com a constante de tempo \tau=RC.

Passo 5

Análise do sinal e monotonicidade de V_R(t). Calcule a derivada temporal:
\frac{dV_R}{dt} = -\frac{1}{RC}\,\bigl(V_2 - V_C(0^+)\bigr)\,e^{-t/(RC)} = -\frac{1}{RC}\,V_R(t).
Isto implica que:
  • Se V_R(0^+)>0 (ou seja, V_2 > V_C(0^+)), então \dfrac{dV_R}{dt}<0 para todo t>0. Logo V_R(t) diminui monotonicamente com o tempo naquele semi‑ciclo.
  • Se V_R(0^+)<0 (ou seja, V_2 < V_C(0^+)), então \dfrac{dV_R}{dt}>0 para todo t>0. Logo V_R(t) aumenta monotonicamente com o tempo naquele semi‑ciclo (tenda a zero vindo de valores negativos).
Portanto, o sinal da tensão inicial em V_R (imediatamente após a transição do degrau) determina se V_R vai diminuir ou aumentar durante o semi‑ciclo: ela sempre tende exponencialmente a zero.

Passo 6

Aplicando ao caso concreto da onda quadrada (comentário físico e prático):
  • No instante em que a onda quadrada sobe (por exemplo, de um patamar baixo V_a para um patamar alto V_b com V_b>V_a), imediatamente depois da transição o capacitor está com uma tensão próxima do patamar anterior V_C(0^+)\lesssim V_a. Assim V_2 = V_b e tipicamente V_b>V_C(0^+), ou seja V_R(0^+)>0. Pela análise do passo anterior, V_R(t) decresce exponencialmente ao longo desse semi‑ciclo.
  • Quando a onda quadrada cai (de V_b para V_a com V_a<V_b), imediatamente após a transição o capacitor ainda está com V_C(0^+) próximo de V_b, logo V_2=V_a<V_C(0^+) e V_R(0^+)<0. Então V_R(t) aumenta (isto é, torna‑se menos negativo, aproximando‑se de zero) durante esse semi‑ciclo.
Em termos simples: no bordo de subida aparece um pulso em V_R com sinal positivo que decai; no bordo de descida aparece um pulso com sinal negativo que também decai em magnitude (mas como valor numérico passa de mais negativo para zero, diz‑se que aumenta).

Passo 7

Intuição física que conecta com experiências práticas:
  • Num degrau, o capacitor inicialmente se comporta quase como um curto-circuito instantâneo, permitindo uma corrente grande imediatamente após a transição; conforme o capacitor acumula carga, a corrente cai exponencialmente. A queda de tensão no resistor é proporcional à corrente: portanto aqueles pulsos de corrente se traduzem em pulsos de V_R que decaem.
  • O sentido da corrente inverte quando o degrau inverte (porque o capacitor passa a descarregar em relação ao novo patamar), daí o pulso em V_R troca de sinal no semi‑ciclo seguinte; mas em todos os casos a absolutação do pulso decai exponencialmente até zero.
  • Logo, se nas experiências foi observada a forma típica de pulsos decrescentes em cada borda da onda quadrada (um pulso positivo na subida, um negativo na descida), então sim, o comportamento previsto pela teoria (decrescimento no primeiro semi‑ciclo, aumento — no sentido de valor numérico tornando‑se menos negativo — no segundo semi‑ciclo) aparece claramente nas medições com osciloscópio.

Passo 8

Resumo prático para usar na prova (receita rápida):
  • Ao considerar cada semi‑ciclo tratar a fonte como constante V_2 e usar
V_R(t)=\bigl(V_2 - V_C(0^+)\bigr)\,e^{-t/(RC)}.
  • Verifique o sinal de V_2 - V_C(0^+): se positivo, V_R diminui; se negativo, V_R aumenta (tende a zero vindo de valores negativos).
  • Experimento: meça V_R no osciloscópio; observará pulsos exponenciais que decaem dentro de cada semi‑ciclo, com polaridade alternada conforme a onda quadrada.

Resposta

V_R(t)=\bigl(V_2-V_C(0^+)\bigr)\,e^{-t/(RC)}
Portanto, se no início do semi‑ciclo V_2>V_C(0^+) então V_R(0^+)>0 e \dfrac{dV_R}{dt}<0 (ou seja, V_R diminui no primeiro semi‑ciclo); se no semi‑ciclo seguinte V_2<V_C(0^+) então V_R(0^+)<0 e \dfrac{dV_R}{dt}>0 (ou seja, V_R aumenta nesse semi‑ciclo).
Sim — esse comportamento é previsto teoricamente e é observado em experiências (pulso inicial grande em cada transição que decai exponencialmente, com polaridade invertida entre semi‑ciclos).

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