Mostre que, num circuito RC, ao contrário do que acontece no capacitor, a diferença de potencial no resistor
diminui com o tempo durante o primeiro semi-ciclo e aumenta com o tempo durante o segundo semi - ciclo do sinal de onda quadrada. Esse comportamento foi previsto nas suas experiências? Justifique.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, num circuito série
alimentado por um sinal de onda quadrada, a tensão no resistor
tem o comportamento seguinte: durante o primeiro semi‑ciclo ela diminui com o tempo e, durante o segundo semi‑ciclo, ela aumenta com o tempo.
Informações / hipóteses que vamos usar (todas necessárias):
Informações / hipóteses que vamos usar (todas necessárias):
- O circuito é série: fonte
em série com resistor e capacitor . - O sinal de entrada é uma onda quadrada que alterna entre dois patamares constantes (chamarei genericamente de
e ). Em cada semi‑ciclo a fonte é constante (um degrau) igual a um desses valores. - As grandezas relevantes: carga do capacitor
, corrente , tensão no capacitor e tensão no resistor . - Não há imagens a usar.
Passo 2
Escrevendo a equação fundamental (Lei de Kirchhoff de tensões, KVL) para um instante em que a fonte está num patamar constante
(ou seja, dentro de um semi‑ciclo):
Explicando cada termo:
-
é a tensão da fonte (constante durante o semi‑ciclo). -
é a queda de tensão no resistor (o que queremos estudar). -
é a tensão no capacitor (onde é a capacitância).
Também usamos a relação entre corrente e tensão no capacitor:
Substituindo
na KVL, obtemos uma equação diferencial simples para
enquanto
é constante.
Passo 3
Derivação e solução da equação diferencial para
quando a fonte toma um valor constante
a partir de
(ou seja, logo depois de uma transição do quadrado):
A KVL reescrita é
A KVL reescrita é
Rearranjando:
Isto é uma equação diferencial linear de primeira ordem. A solução geral (modo padrão) para
, com condição inicial
, é
Interpretação física: o capacitor relaxa exponencialmente a partir do seu valor inicial
em direção ao valor da fonte
com constante de tempo
.
Passo 4
Agora obtemos
em função de
. Usando
(pela KVL),
Essa expressão é essencial. Ela diz que, dentro de cada semi‑ciclo (i.e. entre duas transições),
é uma exponencial simples com amplitude inicial
e que decai para zero com a constante de tempo
.
Passo 5
Análise do sinal e monotonicidade de
. Calcule a derivada temporal:
Isto implica que:
- Se
(ou seja, ), então para todo . Logo diminui monotonicamente com o tempo naquele semi‑ciclo. - Se
(ou seja, ), então para todo . Logo aumenta monotonicamente com o tempo naquele semi‑ciclo (tenda a zero vindo de valores negativos).
Portanto, o sinal da tensão inicial em
(imediatamente após a transição do degrau) determina se
vai diminuir ou aumentar durante o semi‑ciclo: ela sempre tende exponencialmente a zero.
Passo 6
Aplicando ao caso concreto da onda quadrada (comentário físico e prático):
- No instante em que a onda quadrada sobe (por exemplo, de um patamar baixo
para um patamar alto com ), imediatamente depois da transição o capacitor está com uma tensão próxima do patamar anterior . Assim e tipicamente , ou seja . Pela análise do passo anterior, decresce exponencialmente ao longo desse semi‑ciclo. - Quando a onda quadrada cai (de
para com ), imediatamente após a transição o capacitor ainda está com próximo de , logo e . Então aumenta (isto é, torna‑se menos negativo, aproximando‑se de zero) durante esse semi‑ciclo.
Em termos simples: no bordo de subida aparece um pulso em
com sinal positivo que decai; no bordo de descida aparece um pulso com sinal negativo que também decai em magnitude (mas como valor numérico passa de mais negativo para zero, diz‑se que aumenta).
Passo 7
Intuição física que conecta com experiências práticas:
- Num degrau, o capacitor inicialmente se comporta quase como um curto-circuito instantâneo, permitindo uma corrente grande imediatamente após a transição; conforme o capacitor acumula carga, a corrente cai exponencialmente. A queda de tensão no resistor é proporcional à corrente: portanto aqueles pulsos de corrente se traduzem em pulsos de
que decaem. - O sentido da corrente inverte quando o degrau inverte (porque o capacitor passa a descarregar em relação ao novo patamar), daí o pulso em
troca de sinal no semi‑ciclo seguinte; mas em todos os casos a absolutação do pulso decai exponencialmente até zero. - Logo, se nas experiências foi observada a forma típica de pulsos decrescentes em cada borda da onda quadrada (um pulso positivo na subida, um negativo na descida), então sim, o comportamento previsto pela teoria (decrescimento no primeiro semi‑ciclo, aumento — no sentido de valor numérico tornando‑se menos negativo — no segundo semi‑ciclo) aparece claramente nas medições com osciloscópio.
Passo 8
Resumo prático para usar na prova (receita rápida):
- Ao considerar cada semi‑ciclo tratar a fonte como constante
e usar
- Verifique o sinal de
: se positivo, diminui; se negativo, aumenta (tende a zero vindo de valores negativos). - Experimento: meça
no osciloscópio; observará pulsos exponenciais que decaem dentro de cada semi‑ciclo, com polaridade alternada conforme a onda quadrada.
Resposta
Portanto, se no início do semi‑ciclo
então
e
(ou seja,
diminui no primeiro semi‑ciclo); se no semi‑ciclo seguinte
então
e
(ou seja,
aumenta nesse semi‑ciclo).
Sim — esse comportamento é previsto teoricamente e é observado em experiências (pulso inicial grande em cada transição que decai exponencialmente, com polaridade invertida entre semi‑ciclos).
Sim — esse comportamento é previsto teoricamente e é observado em experiências (pulso inicial grande em cada transição que decai exponencialmente, com polaridade invertida entre semi‑ciclos).