Mostre que a solução geral da equação
L \frac{d i}{d t}+i R=E(t)
onde L e R são constantes é dada por,
i(t)=\frac{e^{\left(-\frac{R}{L}\right) t}}{L} \int e^{\left(\frac{R}{L}\right) t} E(t) d t+c e^{e^{\left(-\frac{R}{L}\right) t}}
Em particular, quando E(t)=E_{0} for constante, temos i(t)=\frac{E_{0}}{R}+c e^{\left(-\frac{R}{L}\right) t}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
L\frac{di}{dt}+Ri = E(t),
onde L e R são constantes. Esse é um caso clássico de equação linear da forma
\frac{di}{dt} + p(t)\,i = q(t),
com p(t)=\tfrac{R}{L} e q(t)=\tfrac{E(t)}{L}. Para resolver, vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Escrevemos a equação na forma padrão dividindo por L:
\frac{di}{dt} + \frac{R}{L}\,i = \frac{E(t)}{L}.
O fator integrante é
\mu(t) = \exp\Bigl(\int \frac{R}{L}\,dt\Bigr) = e^{\frac{R}{L}t}.
Multiplicamos toda a equação por \mu(t):
e^{\frac{R}{L}t}\frac{di}{dt} + \frac{R}{L}e^{\frac{R}{L}t}i = \frac{E(t)}{L}\,e^{\frac{R}{L}t}.

Passo 3

Reconhecemos que o lado esquerdo é a derivada do produto \mu(t)\,i(t):
\frac{d}{dt}\Bigl(e^{\frac{R}{L}t}i\Bigr) = e^{\frac{R}{L}t}\frac{di}{dt} + \frac{R}{L}e^{\frac{R}{L}t}i.
Logo a equação fica
\frac{d}{dt}\Bigl(e^{\frac{R}{L}t}i\Bigr) = \frac{E(t)}{L}\,e^{\frac{R}{L}t}.

Passo 4

Integramos em t:
e^{\frac{R}{L}t}i(t) = \int \frac{E(t)}{L}\,e^{\frac{R}{L}t}\,dt + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Isolando i(t), obtemos a solução geral:
i(t) = e^{-\frac{R}{L}t}\Bigl[\frac{1}{L}\!\int e^{\frac{R}{L}t}\,E(t)\,dt + C\Bigr] = \frac{e^{-\frac{R}{L}t}}{L}\int e^{\frac{R}{L}t}E(t)\,dt + C\,e^{-\frac{R}{L}t}.

Passo 6

No caso particular E(t)=E_{0} constante, temos
\int e^{\frac{R}{L}t}E_{0}\,dt = E_{0}\!\int e^{\frac{R}{L}t}\,dt = E_{0}\,\frac{L}{R}e^{\frac{R}{L}t},
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i(t) = e^{-\frac{R}{L}t}\Bigl[\frac{1}{L}\cdot E_{0}\,\frac{L}{R}e^{\frac{R}{L}t} + C\Bigr] = \frac{E_{0}}{R} + C\,e^{-\frac{R}{L}t}.

Resposta

i(t) = \frac{e^{-\frac{R}{L}t}}{L}\int e^{\frac{R}{L}t}E(t)\,dt + C\,e^{-\frac{R}{L}t},
e, para E(t)=E_{0},
i(t)=\frac{E_{0}}{R}+C\,e^{-\frac{R}{L}t}.

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