Mostre que a solução geral da equação
onde
e
são constantes é dada por,
Em particular, quando
for constante, temos
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
onde
e
são constantes. Esse é um caso clássico de equação linear da forma
com
e
. Para resolver, vamos usar o método do fator integrante.
Passo 2
Escrevemos a equação na forma padrão dividindo por
:
O fator integrante é
Multiplicamos toda a equação por
:
Passo 3
Reconhecemos que o lado esquerdo é a derivada do produto
:
Logo a equação fica
Passo 4
Integramos em
:
onde
é a constante de integração.
Passo 5
Isolando
, obtemos a solução geral:
Passo 6
No caso particular
constante, temos
logo
Resposta
e, para
,