(2,0 pt) Q3) Num circuito RLC amortecido, determine, em termos de R, L e C, o tempo necessário para que a amplitude da carga no capacitor diminua para 20 % da amplitude inicial.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz: num circuito RLC amortecido, queremos achar o tempo para a amplitude da carga no capacitor cair para 20% da inicial.
Conteúdo: equação diferencial de um RLC com amortecimento e decaimento exponencial da amplitude.
O que precisamos: saber que, no regime amortecido, a envoltória da amplitude vai como
A(t)=A0,e^-alpha t
com .

Passo 2

Isso vem da solução da equação de um RLC em série com resistência Ld^2qdt^2 + Rdqdt + qC = 0 , indutância e capacitância . A equação é
No caso subamortecido, a parte oscilatória (cosseno) fica multiplicada por , e a amplitude decai mesmo assim com .

Passo 3

Queremos que
A(t)A0 = 0.20 Longrightarrow e^-alpha t = 0.20
Substituindo e^-R2Lt = 0.20 :

Passo 4

Agora é só isolar -R2L,t = ln(0.20) Longrightarrow t = -2LR,ln(0.20) . Tomamos o logaritmo natural em ambos os lados:
t = 2LR,ln(5)
Como , fica

Resposta

t ;=;2,LR,ln(5)

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