O potencial na superfície de uma casca esférica de raio R é dado por V0(theta)=k cos (2 theta), onde k é uma constante real. Determine o potencial dentro e fora da esfera, sabendo que não existe carga elétrica líquida nessas regiões. Dica: antes de aplicar as condições de contorno para solução da equação de Laplace, você precisará reescrever o potencial V0(theta) em termos dos polinômios de Legendre P0(x)=1 e P2(x)=(3 x^2-1) / 2. Lembre-se que a solução da equação de Laplace em coordenadas esféricas corresponde à seguinte expressão:
V(r, theta)=suml=0^infty(Al r^l+Blr^l+1) Pl(cos theta)

Passo 1

Beleza, olha só o problema: a gente tem uma casca esférica de raio V0(theta)=kcos(2theta), onde o potencial na superfície depende só de V(r,theta)=suml=0^inftyl(Al,r^l + Blr^,l+1r),Pl(costheta), e vale
O conteúdo aqui é resolução da equação de Laplace em coordenadas esféricas, usando expansão em polinômios de Legendre.
O que vamos precisar:
  1. Saber que a solução geral de Laplace (sem cargas no interior/exterior) é
  2. Expressar em termos de e .
  3. Impor que dentro da esfera não fique singular em (logo ) e que fora a gente tenha em (logo ).
  4. Igualar e ao para achar os coeficientes.

Passo 2

Primeiro, reescreve cos(2theta)=2cos^2theta-1 e P2(costheta)=3cos^2theta-12 em função de 2cos^2theta-1 = 43,3cos^2theta-12 ;-;13 = 43P2(costheta);-;13cdot P0(costheta) e V0(theta) = kcos(2theta) = -k3,P0(costheta);+;4k3,P2(costheta) . A gente lembra que
Então
Multiplicando por , dá

Passo 3

Agora a gente escreve a solução geral de Laplace:
  • Dentro ( Vrm in(r,theta) = suml=0^infty Al,r^l,Pl(costheta) ), para não explodir em Vrm out(r,theta) = suml=0^infty Blr^,l+1,Pl(costheta) , só fica o termo .
  • Fora ( ), para morrer em , só fica o termo :
Como o contorno só tem componentes e , na prática a soma fica só nesses dois.

Passo 4

Impondo A0cdot R^0 = -k3, B0R^1 = -k3 ;;Longrightarrow;; A0=-k3,;;B0=-kR3 , a gente iguala coeficiente a coeficiente:
Para A2,R^2 = 4k3, B2R^3 = 4k3 ;;Longrightarrow;; A2=4k3R^2,;;B2=4kR^33 :
Para :

Resposta

Então, juntando tudo:
boxed Vrm in(r,theta) = A0,P0 + A2,r^2,P2 = -k3 + 4k3R^2;r^2;3cos^2theta-12 para boxed Vrm out(r,theta) = B0r,P0 + B2r^3,P2 = -kR3r + 4kR^33,r^3;3cos^2theta-12 :
para :

Exercícios relacionados