potencial na superfície de uma casca esférica de raio
é dado por
, onde
é uma constante real. Determine o potencial dentro e fora da esfera, sabendo que não existe carga elétrica líquida nessas regiões. Dica: antes de aplicar as condições de contorno para solução da equação de Laplace, você precisará reescrever o potencial
em termos dos polinômios de Legendre
e
. Lembre-se que a solução da equação de Laplace em coordenadas esféricas corresponde à seguinte expressão:
Passo 1
Beleza, olha só o problema: a gente tem uma casca esférica de raio
onde o potencial na superfície depende só de
e vale
O conteúdo aqui é resolução da equação de Laplace em coordenadas esféricas, usando expansão em polinômios de Legendre.
O que vamos precisar:
O que vamos precisar:
- Saber que a solução geral de Laplace (sem cargas no interior/exterior) é
- Expressar
em termos de e . - Impor que dentro da esfera não fique singular em
(logo ) e que fora a gente tenha em (logo ). - Igualar
e ao para achar os coeficientes.
Passo 2
Primeiro, reescreve
em função de
e
. A gente lembra que
Então
Multiplicando por
, dá
Passo 3
Agora a gente escreve a solução geral de Laplace:
- Dentro (
), para não explodir em , só fica o termo . - Fora (
), para morrer em , só fica o termo :
Como o contorno só tem componentes
e
, na prática a soma fica só nesses dois.
Passo 4
Impondo
, a gente iguala coeficiente a coeficiente:
Para :
Para
Para
:
Resposta
Então, juntando tudo: