1. Em um circuito RLC em série, R=5,00 \Omega e L=60,0 \mathrm{mH}. A frequência angular da fonte é (tomada de parede) \omega=2 \pi(60,0 \mathrm{~Hz}) \approx 377 \mathrm{rad} / \mathrm{s} e a amplitude V_{0}=30,0 \mathrm{~V}. (a) Para que valor de C a impedância é mínima? (b) Qual é o valor da impedância nesse caso? (c) Qual é o valor da potência média dissipada nesse caso? (d) Qual o valor da impedância no limite C \rightarrow \infty ? Resp: (a) C=117,3 \mu F; (b) Z_{\text {min }}=R=5,00 \Omega; (c) P_{\text {med }}=90,0 \mathrm{~W}; (d) Z_{\infty}= \sqrt{R^{2}+\omega^{2} L^{2}}=23,2 \Omega

Passo 1

O enunciado dá um circuito série RLC e pede quatro coisas. Dados fornecidos:
R=5,00\\ \Omega,\qquad L=60,0\\ \mathrm{mH}=0,0600\\ \mathrm{H},
\omega=2\pi(60,0\\ \mathrm{Hz})\approx377\\ \mathrm{rad/s},\qquad V_{0}=30,0\\ \mathrm{V}.
Perguntas que o enunciado faz:
(a) Para que valor de C a impedância é mínima?
(b) Qual é o valor da impedância nesse caso?
(c) Qual é o valor da potência média dissipada nesse caso?
(d) Qual o valor da impedância no limite C\rightarrow\infty?

Passo 2

Conceitos e fórmulas essenciais (explicadinho passo a passo):
A impedância (magnitude) de um circuito série R\!-\!L\!-\!C é dada por
Z=\sqrt{R^{2}+\big(X_{L}-X_{C}\big)^{2}},
onde:
X_{L}=\omega L\quad\text{(reatância indutiva)},â
X_{C}=\frac{1}{\omega C}\quad\text{(reatância capacitiva)}.â
Explicação: X_{L} mede quanto o indutor “opõe” à corrente (aumenta com \omega e L). X_{C} mede quanto o capacitor “opõe” à corrente (diminui com C e \omega). A parte reativa total é X_{L}-X_{C}. Quando essa parte é zero, a impedância fica puramente resistiva e assume o valor mínimo possível (porque o termo dentro da raiz fica só R^{2}).

Passo 3

Condição para impedância mínima:
Para minimizar Z basta anular a parte reativa, isto é:
X_{L}=X_{C}.
Substituindo as fórmulas:
\omega L=\frac{1}{\omega C}.
Resolvendo para C:
C=\frac{1}{\omega^{2}L}.
Agora calculamos numericamente. Primeiro calculemos \omega^{2}L:
\omega^{2} = 377^{2}=142129,
\omega^{2}L=142129\times 0,0600=8527,74.
Portanto
C=\frac{1}{8527,74}=1,1729\times 10^{-4}\\ \mathrm{F}.
Convertendo para microfarads:
C=1,1729\times 10^{-4}\\ \mathrm{F}=117,29\\ \mu\mathrm{F}\approx117,3\\ \mu\mathrm{F}.
Comentário amistoso: pronto — esse é o valor de C que “cancela” o efeito indutivo exatamente na frequência dada (ressonância).

Passo 4

Impedância mínima:
No caso reativo anulado temos Z_{\min}=R, porque
Z_{\min}=\sqrt{R^{2}+(X_{L}-X_{C})^{2}}=\sqrt{R^{2}+0^{2}}=R.
Substituindo numericamente:
Z_{\min}=5,00\\ \Omega.

Passo 5

Potência média dissipada no caso de impedância mínima:
Explicação das fórmulas de potência em corrente alternada:
A potência média dissipada por uma resistência é
P_{\text{med}}=I_{\text{rms}}^{2}R=\frac{V_{\text{rms}}^{2}}{R},
onde V_{\text{rms}} é a tensão eficaz (rms). Relação entre amplitude V_{0} e rms:
V_{\text{rms}}=\frac{V_{0}}{\sqrt{2}}.
Como em ressonância a impedância é R pura, a tensão eficaz aplicada sobre a resistência é V_{\text{rms}}. Calculamos:
V_{\text{rms}}^{2}=\frac{V_{0}^{2}}{2}=\frac{30,0^{2}}{2}=\frac{900}{2}=450.
Logo
P_{\text{med}}=\frac{V_{\text{rms}}^{2}}{R}=\frac{450}{5,00}=90,0\\ \mathrm{W}.
Observação prática: também dá certo usar I_{0}=V_{0}/R e I_{\text{rms}}=I_{0}/\sqrt{2} e calcular P=I_{\text{rms}}^{2}R.

Passo 6

Impedância no limite C\rightarrow\infty:
Quando C\rightarrow\infty temos X_{C}=\dfrac{1}{\omega C}\rightarrow 0. Então a impedância tende a
Z_{\infty}=\sqrt{R^{2}+\big(\omega L\big)^{2}}.
Calculamos \omega L numericamente:
\omega L=377\times 0,0600=22,62\\ \Omega.
Então
Z_{\infty}=\sqrt{5,00^{2}+22,62^{2}}=\sqrt{25+511,6644}=\sqrt{536,6644}=23,169\\ \Omega\approx23,2\\ \Omega.

Resposta

(a) C=117,3\\ \mu\mathrm{F}
(b) Z_{\min}=5,00\\ \Omega
(c) P_{\text{med}}=90,0\\ \mathrm{W}
(d) Z_{\infty}=\sqrt{R^{2}+\omega^{2}L^{2}}=23,2\\ \Omega

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