Uma máquina térmica contendo
mol de um gás ideal e de calor específico
opera entre duas fontes: uma fonte quente infinita, chamada fonte 1 , com temperatura constante
; e uma segunda fonte, chamada fonte 2 , inicialmente a temperatura
e com capacidade calorífica finita
. (a) A máquina absorve uma quantidade de calor
da fonte 1 e transfere calor para a fonte 2 , mantendo o gás à mesma pressão até que o gás e a fonte 2 atinjam a mesma temperatura, ponto em que o processo não pode continuar. Qual é a temperatura final da fonte 2? (b) Qual é a quantidade de calor transferida para a fonte 2? (c) Se a máquina realiza ciclos completos e retorna ao seu estado inicial, qual é o trabalho máximo que ela pode realizar? (d) Quais são as temperaturas finais das fontes ao final desse processo? (3 pontos)
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede (a)–(d):
- Dados conhecidos:
-
mol de um gás ideal (fluido de trabalho). - Calor específico a volume constante do gás:
. - A máquina opera entre duas fontes térmicas:
- Fonte 1: reservatório infinito à temperatura constante
. - Fonte 2: reservatório de capacidade calorífica finita
, temperatura inicial .
- Fonte 1: reservatório infinito à temperatura constante
- A máquina absorve da fonte 1 uma quantidade de calor
e transfere calor para a fonte 2, mantendo o gás à mesma pressão até que o gás e a fonte 2 atinjam a mesma temperatura finais (processo cessa aí).
-
- O que se pede:
(a) Qual é a temperatura final da fonte 2 (chame-a de) em função de e dos parâmetros?
(b) Qual é a quantidade de calortransferida para a fonte 2?
(c) Se a máquina realiza ciclos completos retornando ao estado inicial do gás, qual é o trabalho máximo que ela pode realizar?
(d) Quais serão as temperaturas finais das fontes ao final desse processo máximo?
Passo 2
Entendendo como trocar calor num processo à pressão constante (no gás): quando um gás ideal sofre uma variação de temperatura à pressão constante, a quantidade de calor que entra no gás (neto) é dada por
onde
é o calor molar a pressão constante do gás. Explico:
é o calor necessário para elevar 1 mol do gás em 1 unidade de temperatura mantendo a pressão constante; para um gás ideal tem-se a relação
onde
é a const. dos gases ideais. Aqui
é o calor líquido absorvido pelo gás ao aquecer de
até
.
Passo 3
Conservação de energia para o sistema gás + fonte 2 durante o processo: a máquina retira da fonte 1 a quantidade
. Parte desse calor aumenta a energia interna do gás (o termo
, que já representa o calor líquido recebido pelo gás) e parte é transferida para a fonte 2 (essa parte chamamos
). Assim o balanço de calor do gás dá a equação
Além disso, a fonte 2, que tem capacidade calorífica
(assumimos
constante), ganha o calor
e sua elevação de temperatura é
Essas duas equações juntas permitem achar
e
.
Passo 4
Resolver as duas equações simultâneas. Substituindo
na equação do balanço:
Reunindo os termos em
obtemos
Isolando
,
Isso responde (a). Pequeno comentário prático: se
for suficientemente grande
pode subir muito; se
é grande, a elevação de
é pequena, etc.
Passo 5
Usando o
encontrado, obtemos agora
(parte (b)). Substituímos em
:
Portanto
Observação: o trabalho realizado nessa operação particular (não necessariamente máximo) é
, que aqui vale
.
Passo 6
Agora parte (c): queremos o trabalho máximo se a máquina realiza ciclos completos e retorna ao estado inicial do gás. Para obter trabalho máximo devemos operar reversivelmente (Princípio: trabalho útil máximo vem de processo reversível entre reservatórios dados). Assim consideramos uma série de ciclos reversíveis que transfere calor da fonte 1 (a
) para a fonte 2, elevando a temperatura desta de
até alguma temperatura final
. No caso ótimo (maximizando trabalho total), veremos que o processo deve prosseguir até
(mostro isso abaixo).
Passo 7
Aplicando a segunda lei (entropia) para um processo reversível total: a variação total de entropia é zero. A fonte 1, sendo um reservatório à temperatura constante
, perde calor
e sua variação de entropia é
. A fonte 2 ganha calor enquanto sua temperatura sobe de
para
; sua variação de entropia é
Para reversibilidade exigimos
ou seja
Passo 8
O trabalho total produzido até que a fonte 2 atinja
é
onde
. Substituindo a expressão de
da entropia:
Passo 9
Para achar o
que maximiza
(isto é, o maior trabalho possível), derivamos em relação a
e igualamos a zero:
Assim o trabalho é maximizado quando a fonte 2 é aquecida até igualar a temperatura da fonte 1. Isso faz sentido físico: só enquanto houver diferença de temperatura entre fonte1 e fonte2 pode-se extrair trabalho reversivelmente; o limite é igualar as temperaturas.
Passo 10
Substituindo
em
obtemos o máximo trabalho total:
Este é o trabalho máximo extraível fazendo ciclos reversíveis até a fonte 2 atingir
. Observação intuitiva: se
está muito perto de
o ganho é pequeno; se
é muito menor, o potencial de trabalho cresce.
Passo 11
Finalmente (d): as temperaturas finais das fontes no processo ótimo (reversível, que produz
) são:
- Fonte 1: permanece em
(reservatório infinito, sua temperatura não muda). - Fonte 2: atinge
(iguala-se à fonte quente no final do processo reversível que extrai o máximo de trabalho).
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d) Fonte 1:
(inalterada) \nFonte 2:
(final)