Uma máquina térmica contendo n mol de um gás ideal e de calor específico C_{V} opera entre duas fontes: uma fonte quente infinita, chamada fonte 1 , com temperatura constante T_{1}; e uma segunda fonte, chamada fonte 2 , inicialmente a temperatura T_{2} e com capacidade calorífica finita C. (a) A máquina absorve uma quantidade de calor Q_{1} da fonte 1 e transfere calor para a fonte 2 , mantendo o gás à mesma pressão até que o gás e a fonte 2 atinjam a mesma temperatura, ponto em que o processo não pode continuar. Qual é a temperatura final da fonte 2? (b) Qual é a quantidade de calor transferida para a fonte 2? (c) Se a máquina realiza ciclos completos e retorna ao seu estado inicial, qual é o trabalho máximo que ela pode realizar? (d) Quais são as temperaturas finais das fontes ao final desse processo? (3 pontos)

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede (a)–(d):
  • Dados conhecidos:
    • n mol de um gás ideal (fluido de trabalho).
    • Calor específico a volume constante do gás: C_{V}.
    • A máquina opera entre duas fontes térmicas:
      • Fonte 1: reservatório infinito à temperatura constante T_{1}.
      • Fonte 2: reservatório de capacidade calorífica finita C, temperatura inicial T_{2}.
    • A máquina absorve da fonte 1 uma quantidade de calor Q_{1} e transfere calor para a fonte 2, mantendo o gás à mesma pressão até que o gás e a fonte 2 atinjam a mesma temperatura finais (processo cessa aí).
  • O que se pede:
    (a) Qual é a temperatura final da fonte 2 (chame-a de T_{f}) em função de Q_{1} e dos parâmetros?
    (b) Qual é a quantidade de calor Q_{2} transferida para a fonte 2?
    (c) Se a máquina realiza ciclos completos retornando ao estado inicial do gás, qual é o trabalho máximo que ela pode realizar?
    (d) Quais serão as temperaturas finais das fontes ao final desse processo máximo?

Passo 2

Entendendo como trocar calor num processo à pressão constante (no gás): quando um gás ideal sofre uma variação de temperatura à pressão constante, a quantidade de calor que entra no gás (neto) é dada por
Q_{\text{gas}} = n C_{P} (T_{f}-T_{2}),
onde C_{P} é o calor molar a pressão constante do gás. Explico: C_{P} é o calor necessário para elevar 1 mol do gás em 1 unidade de temperatura mantendo a pressão constante; para um gás ideal tem-se a relação
C_{P}=C_{V}+R,
onde R é a const. dos gases ideais. Aqui nC_{P}(T_{f}-T_{2}) é o calor líquido absorvido pelo gás ao aquecer de T_{2} até T_{f}.

Passo 3

Conservação de energia para o sistema gás + fonte 2 durante o processo: a máquina retira da fonte 1 a quantidade Q_{1}. Parte desse calor aumenta a energia interna do gás (o termo nC_{P}(T_{f}-T_{2}), que já representa o calor líquido recebido pelo gás) e parte é transferida para a fonte 2 (essa parte chamamos Q_{2}). Assim o balanço de calor do gás dá a equação
Q_{1}-Q_{2}=n C_{P} (T_{f}-T_{2}).
Além disso, a fonte 2, que tem capacidade calorífica C (assumimos C constante), ganha o calor Q_{2} e sua elevação de temperatura é
Q_{2}=C (T_{f}-T_{2}).
Essas duas equações juntas permitem achar T_{f} e Q_{2}.

Passo 4

Resolver as duas equações simultâneas. Substituindo Q_{2}=C(T_{f}-T_{2}) na equação do balanço:
Q_{1}-C(T_{f}-T_{2})=n C_{P} (T_{f}-T_{2}).
Reunindo os termos em (T_{f}-T_{2}) obtemos
Q_{1}=(n C_{P}+C)(T_{f}-T_{2}).
Isolando T_{f},
\boxed{\,T_{f}=T_{2}+\dfrac{Q_{1}}{n C_{P}+C}\,}.
Isso responde (a). Pequeno comentário prático: se Q_{1} for suficientemente grande T_{f} pode subir muito; se C é grande, a elevação de T_{f} é pequena, etc.

Passo 5

Usando o T_{f} encontrado, obtemos agora Q_{2} (parte (b)). Substituímos em Q_{2}=C(T_{f}-T_{2}):
Q_{2}=C\left(\dfrac{Q_{1}}{n C_{P}+C}\right)=\dfrac{C\,Q_{1}}{n C_{P}+C}.
Portanto
\boxed{\,Q_{2}=\dfrac{C\,Q_{1}}{n C_{P}+C}\,}.
Observação: o trabalho realizado nessa operação particular (não necessariamente máximo) é W=Q_{1}-Q_{2}, que aqui vale W=Q_{1}\big(1-\dfrac{C}{nC_{P}+C}\big)=\dfrac{nC_{P}\,Q_{1}}{nC_{P}+C}.

Passo 6

Agora parte (c): queremos o trabalho máximo se a máquina realiza ciclos completos e retorna ao estado inicial do gás. Para obter trabalho máximo devemos operar reversivelmente (Princípio: trabalho útil máximo vem de processo reversível entre reservatórios dados). Assim consideramos uma série de ciclos reversíveis que transfere calor da fonte 1 (a T_{1}) para a fonte 2, elevando a temperatura desta de T_{2} até alguma temperatura final T_{f}. No caso ótimo (maximizando trabalho total), veremos que o processo deve prosseguir até T_{f}=T_{1} (mostro isso abaixo).

Passo 7

Aplicando a segunda lei (entropia) para um processo reversível total: a variação total de entropia é zero. A fonte 1, sendo um reservatório à temperatura constante T_{1}, perde calor Q_{1,\text{tot}} e sua variação de entropia é -Q_{1,\text{tot}}/T_{1}. A fonte 2 ganha calor enquanto sua temperatura sobe de T_{2} para T_{f}; sua variação de entropia é
\Delta S_{2}=\int_{T_{2}}^{T_{f}}\dfrac{C\,dT}{T}=C\ln\!\left(\dfrac{T_{f}}{T_{2}}\right).
Para reversibilidade exigimos
-\dfrac{Q_{1,\text{tot}}}{T_{1}}+C\ln\!\left(\dfrac{T_{f}}{T_{2}}\right)=0,
ou seja
\boxed{\,Q_{1,\text{tot}}=T_{1}\,C\ln\!\left(\dfrac{T_{f}}{T_{2}}\right)\,}.

Passo 8

O trabalho total produzido até que a fonte 2 atinja T_{f} é
W(T_{f})=Q_{1,\text{tot}}-Q_{2,\text{tot}},
onde Q_{2,\text{tot}}=C(T_{f}-T_{2}). Substituindo a expressão de Q_{1,\text{tot}} da entropia:
W(T_{f})=T_{1}C\ln\!\left(\dfrac{T_{f}}{T_{2}}\right)-C(T_{f}-T_{2}).

Passo 9

Para achar o T_{f} que maximiza W(T_{f}) (isto é, o maior trabalho possível), derivamos em relação a T_{f} e igualamos a zero:
\dfrac{dW}{dT_{f}}=C\left(\dfrac{T_{1}}{T_{f}}-1\right)=0 \quad\Rightarrow\quad T_{f}=T_{1}.
Assim o trabalho é maximizado quando a fonte 2 é aquecida até igualar a temperatura da fonte 1. Isso faz sentido físico: só enquanto houver diferença de temperatura entre fonte1 e fonte2 pode-se extrair trabalho reversivelmente; o limite é igualar as temperaturas.

Passo 10

Substituindo T_{f}=T_{1} em W(T_{f}) obtemos o máximo trabalho total:
\boxed{\,W_{\max}=C\left[T_{1}\ln\!\left(\dfrac{T_{1}}{T_{2}}\right)-(T_{1}-T_{2})\right]\,}.
Este é o trabalho máximo extraível fazendo ciclos reversíveis até a fonte 2 atingir T_{1}. Observação intuitiva: se T_{2} está muito perto de T_{1} o ganho é pequeno; se T_{2} é muito menor, o potencial de trabalho cresce.

Passo 11

Finalmente (d): as temperaturas finais das fontes no processo ótimo (reversível, que produz W_{\max}) são:
  • Fonte 1: permanece em T_{1} (reservatório infinito, sua temperatura não muda).
  • Fonte 2: atinge T_{f}=T_{1} (iguala-se à fonte quente no final do processo reversível que extrai o máximo de trabalho).

Resposta

(a) T_{f}=T_{2}+\dfrac{Q_{1}}{n C_{P}+C}
(b) Q_{2}=\dfrac{C\,Q_{1}}{n C_{P}+C}
(c) W_{\max}=C\!\left[T_{1}\ln\!\left(\dfrac{T_{1}}{T_{2}}\right)-(T_{1}-T_{2})\right]
(d) Fonte 1: T_{1} (inalterada) \nFonte 2: T_{1} (final)

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