5 Em um circuito RLC em série, o ângulo de fase é 40,0^{\circ}, com a voltagem da fonte adiantada em relação à corrente. A reatância do capacitor é 200 ohms. A potência média fornecida pela fonte é igual a 150 W . Calcule:
(a) A reatância do indutor. (b) A tensão eficaz da fonte?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas.
Dados:
\varphi=40,0^\circ\quad\text{(a tensão da fonte adianta a corrente)}ã
X_C=200\\ \Omega
P_{\text{média}}=150\\ \text{W}é
Perguntas:
(a) Calcular a reatância do indutor X_L.
(b) Calcular a tensão eficaz da fonte V_{\text{rms}}.
Observação importante: a informação de que a tensão adianta a corrente indica que o circuito série tem reatância líquida indutiva, ou seja X_L-X_C>0. Neste passo só identifiquei o que foi dado e o que é pedido.

Passo 2

Vamos juntar as fórmulas fundamentais do circuito RLC série e explicar cada uma com calma.
  1. Impedância do circuito série. Se R é a resistência do resistor, a parte reativa líquida é
X \equiv X_L-X_C.
A impedância em módulo é
Z=\sqrt{R^2+X^2}.
Aqui Z é a razão entre tensão eficaz e corrente eficaz: Z=V_{\text{rms}}/I_{\text{rms}}.
  1. Ângulo de fase. O ângulo de fase \varphi entre tensão e corrente satisfaz
\tan\varphi=\frac{X}{R}=\frac{X_L-X_C}{R}.
Explicando: \varphi>0 (tensão adianta) significa que a parte indutiva domina e a tangente do ângulo é a razão entre a parte reativa líquida e a resistência.
  1. Potência média (ativa). Em circuito AC com tensões e correntes eficazes:
P=V_{\text{rms}}\,I_{\text{rms}}\,\cos\varphi.
Em circuito série também vale
P=I_{\text{rms}}^2 R,
porque apenas o resistor dissipa potência ativa.
  1. Fator de potência e relação com R e Z. O cosseno do ângulo é
\cos\varphi=\frac{R}{Z}.
Isto vem diretamente de Z=\sqrt{R^2+X^2}.
Estas são as fórmulas que vamos usar; explicitei o significado de cada variável para você poder aplicar na prova sem pular etapas.

Passo 3

A primeira relação útil que permite ligar X_L a R aparece isolando X_L na equação da tangente:
\tan\varphi=\frac{X_L-X_C}{R}\quad\Rightarrow\quad X_L = X_C + R\tan\varphi.
Interpretação prática: a reatância do indutor vale a reatância do capacitor mais uma contribuição que depende da resistência e do ângulo de fase. Essa é uma relação exata e muito usada em exercícios — memorize!
Aqui já vemos que, sem conhecer R, não conseguimos um valor numérico de X_L. Vou continuar e relacionar R com os dados de potência para ver o que conseguimos.

Passo 4

Usando a potência média, podemos escrever R em função da corrente eficaz I_{\text{rms}}:
P=I_{\text{rms}}^2R\quad\Rightarrow\quad R=\frac{P}{I_{\text{rms}}^2}.
Substituindo isso na expressão de X_L do Passo 3 obtemos uma forma expressa em termos de I_{\text{rms}}:
X_L = X_C + \frac{P}{I_{\text{rms}}^2}\tan\varphi.
Explicando: se você soubesse a corrente eficaz que circula no circuito, poderia calcular R por R=P/I^2 e daí calcular X_L pela fórmula acima.

Passo 5

Também é útil escrever as quantidades em termos da tensão eficaz V_{\text{rms}} em vez da corrente. A relação entre V_{\text{rms}}, R e P vem de
P=\frac{V_{\text{rms}}^2\cos^2\varphi}{R}
(esta igualdade vem de P=V^2/Z\cdot\cos\varphi e Z=R/\cos\varphi; mostrei antes como). Daí isolamos R:
R=\frac{V_{\text{rms}}^2\cos^2\varphi}{P}.
Substituindo isso na expressão do Passo 3 obtemos X_L em função de V_{\text{rms}}:
X_L = X_C + \frac{V_{\text{rms}}^2\cos^2\varphi}{P}\tan\varphi.
Novamente, isto mostra que sem um valor numérico adicional (ou I_{\text{rms}} ou R ou V_{\text{rms}}) não se obtém um único número para X_L.

Passo 6

Agora escrevemos a tensão eficaz da fonte em formas úteis (relacionadas com R ou com I_{\text{rms}}):
a) Em termos de I_{\text{rms}}, da relação P=V_{\text{rms}}I_{\text{rms}}\cos\varphi obtemos
V_{\text{rms}}=\frac{P}{I_{\text{rms}}\cos\varphi}.
b) Em termos de R, da relação V_{\text{rms}}^2=\dfrac{P R}{\cos^2\varphi} temos
V_{\text{rms}}=\sqrt{\frac{P R}{\cos^2\varphi}}.
Estas expressões são úteis na prova: dependendo da informação adicional que o enunciado te der (geralmente I_{\text{rms}} ou R ou V_{\text{rms}}), você usa a formula apropriada para obter o valor numérico.

Passo 7

Conclusão sobre a resolubilidade numérica do problema dado: com os dados fornecidos ( \varphi=40,0^\circ, X_C=200\\ \Omega, P=150\\ \text{W}) não há informação suficiente para determinar valores numéricos únicos para X_L e V_{\text{rms}}. Isso porque há três incógnitas principais ( R, X_L, I_{\text{rms}} ou V_{\text{rms}}) e apenas duas equações independentes fornecidas pelos dados. Logo há uma família infinita de soluções parametrizadas por uma das quantidades R, I_{\text{rms}} ou V_{\text{rms}}.
Por isso o melhor que podemos dar são fórmulas fechadas que permitem obter X_L e V_{\text{rms}} assim que for fornecido um dado adicional (por exemplo I_{\text{rms}} ou R ou V_{\text{rms}}).

Passo 8

Resumo final prático — fórmulas que você levaria para a prova e usaria conforme o dado extra que aparecesse:
\boxed{X_L = X_C + R\tan\varphi}
com
\boxed{R=\dfrac{P}{I_{\text{rms}}^2}} \quad\text{ou}\quad \boxed{R=\dfrac{V_{\text{rms}}^2\cos^2\varphi}{P}}.
Para a tensão eficaz:
\boxed{V_{\text{rms}}=\dfrac{P}{I_{\text{rms}}\cos\varphi}} \quad\text{ou}\quad \boxed{V_{\text{rms}}=\sqrt{\dfrac{P R}{\cos^2\varphi}}.}
Se o enunciado da sua prova fornecer mais um dado (por exemplo a corrente eficaz ou a resistência), você substitui nessa caixa e obtém os valores numéricos. Se quiser, me diga um valor hipotético para I_{\text{rms}} ou R e eu mostro um exemplo numérico passo a passo.

Resposta

(a) X_L = 200\\ \Omega + R\tan(40,0^\circ)
(b) V_{\text{rms}}=\dfrac{P}{I_{\text{rms}}\cos(40,0^\circ)}

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