5 Em um circuito RLC em série, o ângulo de fase é
, com a voltagem da fonte adiantada em relação à corrente. A reatância do capacitor é 200 ohms. A potência média fornecida pela fonte é igual a 150 W . Calcule:
(a) A reatância do indutor. (b) A tensão eficaz da fonte?
(a) A reatância do indutor. (b) A tensão eficaz da fonte?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas.
Dados:
Perguntas:
(a) Calcular a reatância do indutor .
(b) Calcular a tensão eficaz da fonte .
(a) Calcular a reatância do indutor
(b) Calcular a tensão eficaz da fonte
Observação importante: a informação de que a tensão adianta a corrente indica que o circuito série tem reatância líquida indutiva, ou seja
. Neste passo só identifiquei o que foi dado e o que é pedido.
Passo 2
Vamos juntar as fórmulas fundamentais do circuito RLC série e explicar cada uma com calma.
- Impedância do circuito série. Se
é a resistência do resistor, a parte reativa líquida é
A impedância em módulo é
Aqui
é a razão entre tensão eficaz e corrente eficaz:
.
- Ângulo de fase. O ângulo de fase
entre tensão e corrente satisfaz
Explicando:
(tensão adianta) significa que a parte indutiva domina e a tangente do ângulo é a razão entre a parte reativa líquida e a resistência.
- Potência média (ativa). Em circuito AC com tensões e correntes eficazes:
Em circuito série também vale
porque apenas o resistor dissipa potência ativa.
- Fator de potência e relação com
e . O cosseno do ângulo é
Isto vem diretamente de
.
Estas são as fórmulas que vamos usar; explicitei o significado de cada variável para você poder aplicar na prova sem pular etapas.
Passo 3
A primeira relação útil que permite ligar
a
aparece isolando
na equação da tangente:
Interpretação prática: a reatância do indutor vale a reatância do capacitor mais uma contribuição que depende da resistência e do ângulo de fase. Essa é uma relação exata e muito usada em exercícios — memorize!
Aqui já vemos que, sem conhecer
, não conseguimos um valor numérico de
. Vou continuar e relacionar
com os dados de potência para ver o que conseguimos.
Passo 4
Usando a potência média, podemos escrever
em função da corrente eficaz
:
Substituindo isso na expressão de
do Passo 3 obtemos uma forma expressa em termos de
:
Explicando: se você soubesse a corrente eficaz que circula no circuito, poderia calcular
por
e daí calcular
pela fórmula acima.
Passo 5
Também é útil escrever as quantidades em termos da tensão eficaz
em vez da corrente. A relação entre
,
e
vem de
(esta igualdade vem de
e
; mostrei antes como). Daí isolamos
:
Substituindo isso na expressão do Passo 3 obtemos
em função de
:
Novamente, isto mostra que sem um valor numérico adicional (ou
ou
ou
) não se obtém um único número para
.
Passo 6
Agora escrevemos a tensão eficaz da fonte em formas úteis (relacionadas com
ou com
):
a) Em termos de
, da relação
obtemos
b) Em termos de
, da relação
temos
Estas expressões são úteis na prova: dependendo da informação adicional que o enunciado te der (geralmente
ou
ou
), você usa a formula apropriada para obter o valor numérico.
Passo 7
Conclusão sobre a resolubilidade numérica do problema dado: com os dados fornecidos (
,
,
) não há informação suficiente para determinar valores numéricos únicos para
e
. Isso porque há três incógnitas principais (
,
,
ou
) e apenas duas equações independentes fornecidas pelos dados. Logo há uma família infinita de soluções parametrizadas por uma das quantidades
,
ou
.
Por isso o melhor que podemos dar são fórmulas fechadas que permitem obter
e
assim que for fornecido um dado adicional (por exemplo
ou
ou
).
Passo 8
Resumo final prático — fórmulas que você levaria para a prova e usaria conforme o dado extra que aparecesse:
com
Para a tensão eficaz:
Se o enunciado da sua prova fornecer mais um dado (por exemplo a corrente eficaz ou a resistência), você substitui nessa caixa e obtém os valores numéricos. Se quiser, me diga um valor hipotético para
ou
e eu mostro um exemplo numérico passo a passo.
Resposta
(a)
(b)
(b)