Considere três ondas com mesma frequência, mesma amplitude e mesmo comprimento de onda viajando ao longo do eixo x.
A soma das três ondas resulta em uma onda final da forma:
Assinale a(s) alternativa(s) correta(s):
□ a. A amplitude final somando as 3 ondas é de, aproximadamente,
.
□ b. A fase da onda final, somando as 3 ondas, é dada por
.
□ c. A fase da onda final, somando as 3 ondas, é dada por
.
□ d. A amplitude final das 3 ondas somadas é de, aproximadamente,
.
□ e. Se for somado APENAS as ondas 1 e 3, a amplitude máxima resultante será de, aproximadamente, 7 cm .
□ f. A fase da onda final somando as 3 ondas, é dada por
.
□ a. A amplitude final somando as 3 ondas é de, aproximadamente,
□ b. A fase da onda final, somando as 3 ondas, é dada por
□ c. A fase da onda final, somando as 3 ondas, é dada por
□ d. A amplitude final das 3 ondas somadas é de, aproximadamente,
□ e. Se for somado APENAS as ondas 1 e 3, a amplitude máxima resultante será de, aproximadamente, 7 cm .
□ f. A fase da onda final somando as 3 ondas, é dada por
Passo 1
Enunciado e dados fornecidos (o que o problema pede e o que temos):
O enunciado pede que identifiquemos quais alternativas (a) a (f) são corretas sobre a onda resultante
Informações relevantes:
e as fases relativas são
. Não há nenhuma outra informação oculta.
Passo 2
Estratégia de solução (o raciocínio que vamos usar) — razão didática:
Quando somamos senos que têm o mesmo argumento básico mas fases diferentes, é muito eficiente tratá-los como vetores (phasors) no plano complexo: cada termo
corresponde a um vetor de magnitude
e ângulo
. A soma de senos com mesma frequência pode então ser obtida somando as componentes desses vetores. Em termos práticos usamos as fórmulas
Quando somamos senos que têm o mesmo argumento básico
e
onde
dá o ângulo correto levando em conta sinais. Vou explicar cada termo: em cada seno a amplitude
é o tamanho do vetor e
é o ângulo (fase) desse vetor; somando as projeções em
(coseno) e em
(seno) obtemos as componentes do vetor resultante, daí vem
e
. Isso evita manipulações trigonométricas extensas e é prático para prova.
Passo 3
Calcular as somas das componentes coseno e seno dos três vetores (cada
,
).
Primeiro calculemos
:
Como
e
, temos
Agora calculemos
:
Como
,
e
, temos
Passo 4
Agora obtemos amplitude
e fase
da onda resultante usando as fórmulas da soma de phasors.
A amplitude:
Vamos avaliar numericamente
, então
Arredondando de forma prática para a prova,
, ou aproximadamente
.
A fase:
Como o numerador é
e o denominador é positivo,
(ou
). Isso significa que o vetor resultante está ao longo do eixo real positivo: as componentes imaginais (seno) se cancelaram.
Interpretação física rápida: as três ondas, uma com fase negativa, uma com fase zero e outra com fase positiva simetricamente, têm as partes imaginárias cancelando e as reais somando; por isso o resultado é uma senoide com fase zero e amplitude maior que
mas menor que
.
Passo 5
Calculemos também a soma apenas das ondas 1 e 3 (opção (e) pede isso): essas têm fases
e
.
Somando as projeções em coseno:
Somando as projeções em coseno:
Somando as projeções em seno:
Logo a amplitude da soma das duas é
ou seja aproximadamente
, que costuma ser arredondado para
.
Passo 6
Avaliação das alternativas (explicando por que cada uma é verdadeira ou falsa, sem repetir a listagem final):
- Alternativa (a): diz que
. Isso corresponderia à soma direta das amplitudes sem considerar fase (todas em fase). Mas como as fases não são iguais, o resultado real foi . Logo (a) é falsa. - Alternativa (b): diz
. Calculamos . Portanto (b) é falsa. - Alternativa (c): diz
. Também é falsa, pois . - Alternativa (d): diz
. Nosso cálculo deu , então (d) é verdadeira. - Alternativa (e): sobre somar apenas as ondas 1 e 3, obtivemos
, portanto a afirmação "aproximadamente " é verdadeira. - Alternativa (f): diz
. Calculamos , logo (f) é verdadeira.
Resposta
d
e
f
e
f