Considere três ondas com mesma frequência, mesma amplitude e mesmo comprimento de onda viajando ao longo do eixo x.
\begin{gathered} y_{1}(x, t)=(5 c m) \operatorname{sen}(k x-\omega t-\pi / 4) \\\ y_{2}(x, t)=(5 c m) \operatorname{sen}(k x-\omega t) \\\ y_{3}(x, t)=(5 c m) \operatorname{sen}(k x-\omega t+\pi / 4) \end{gathered}
A soma das três ondas resulta em uma onda final da forma:
y_{R}(x, t)=A \operatorname{sen}(k x-\omega t+\delta)
Assinale a(s) alternativa(s) correta(s):
□ a. A amplitude final somando as 3 ondas é de, aproximadamente, A=15 \mathrm{~cm}.
□ b. A fase da onda final, somando as 3 ondas, é dada por \delta=\pi / 2.
□ c. A fase da onda final, somando as 3 ondas, é dada por \delta=3 \pi / 2.
□ d. A amplitude final das 3 ondas somadas é de, aproximadamente, \mathrm{A}=12 \mathrm{~cm}.
□ e. Se for somado APENAS as ondas 1 e 3, a amplitude máxima resultante será de, aproximadamente, 7 cm .
□ f. A fase da onda final somando as 3 ondas, é dada por \delta=0^{\circ}.

Passo 1

Enunciado e dados fornecidos (o que o problema pede e o que temos):
\begin{gathered} y_{1}(x,t)=(5\\ \text{cm})\operatorname{sen}(kx-\omega t-\pi/4),\\\ y_{2}(x,t)=(5\\ \text{cm})\operatorname{sen}(kx-\omega t),\\\ y_{3}(x,t)=(5\\ \text{cm})\operatorname{sen}(kx-\omega t+\pi/4). \end{gathered}
O enunciado pede que identifiquemos quais alternativas (a) a (f) são corretas sobre a onda resultante
y_{R}(x,t)=A\operatorname{sen}(kx-\omega t+\delta).
Informações relevantes:
\text{todas as ondas têm mesma frequência, mesmo comprimento de onda e mesma amplitude }5\\ \text{cm},êê
e as fases relativas são -\pi/4,\\\ 0,\\\ +\pi/4. Não há nenhuma outra informação oculta.

Passo 2

Estratégia de solução (o raciocínio que vamos usar) — razão didática:
Quando somamos senos que têm o mesmo argumento básico kx-\omega t mas fases diferentes, é muito eficiente tratá-los como vetores (phasors) no plano complexo: cada termo A_i\operatorname{sen}(kx-\omega t+\varphi_i) corresponde a um vetor de magnitude A_i e ângulo \varphi_i. A soma de senos com mesma frequência pode então ser obtida somando as componentes desses vetores. Em termos práticos usamos as fórmulas
A=\sqrt{\Big(\sum_i A_i\cos\varphi_i\Big)^2+\Big(\sum_i A_i\sin\varphi_i\Big)^2}
e
\delta=\operatorname{atan2}\Big(\sum_i A_i\sin\varphi_i,\\ \sum_i A_i\cos\varphi_i\Big),
onde \operatorname{atan2}(y,x) dá o ângulo correto levando em conta sinais. Vou explicar cada termo: em cada seno a amplitude A_i é o tamanho do vetor e \varphi_i é o ângulo (fase) desse vetor; somando as projeções em x (coseno) e em y (seno) obtemos as componentes do vetor resultante, daí vem A e \delta. Isso evita manipulações trigonométricas extensas e é prático para prova.

Passo 3

Calcular as somas das componentes coseno e seno dos três vetores (cada A_i=5\\ \text{cm}, \varphi_1=-\pi/4,\\ \varphi_2=0,\\ \varphi_3=+\pi/4).
Primeiro calculemos \sum_i A_i\cos\varphi_i:
\sum_i A_i\cos\varphi_i=5\cos(-\tfrac{\pi}{4})+5\cos(0)+5\cos(\tfrac{\pi}{4}).
Como \cos(-\tfrac{\pi}{4})=\cos(\tfrac{\pi}{4})=\dfrac{\sqrt{2}}{2} e \cos 0=1, temos
\sum_i A_i\cos\varphi_i=5\Big(\tfrac{\sqrt{2}}{2}+1+\tfrac{\sqrt{2}}{2}\Big)=5\big(1+\sqrt{2}\big).
Agora calculemos \sum_i A_i\sin\varphi_i:
\sum_i A_i\sin\varphi_i=5\sin(-\tfrac{\pi}{4})+5\sin(0)+5\sin(\tfrac{\pi}{4}).
Como \sin(-\tfrac{\pi}{4})=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}, \sin(\tfrac{\pi}{4})=\dfrac{\sqrt{2}}{2} e \sin 0=0, temos
\sum_i A_i\sin\varphi_i=5\Big(-\tfrac{\sqrt{2}}{2}+0+\tfrac{\sqrt{2}}{2}\Big)=0.

Passo 4

Agora obtemos amplitude A e fase \delta da onda resultante usando as fórmulas da soma de phasors.
A amplitude:
A=\sqrt{\Big(5(1+\sqrt{2})\Big)^2+0^2}=5(1+\sqrt{2}).
Vamos avaliar numericamente \sqrt{2}\approx1,41421356, então
A\approx5(1+1{,}41421356)=5(2{,}41421356)\approx12{,}0710678\\ \text{cm}.
Arredondando de forma prática para a prova, A\approx12{,}07\\ \text{cm}, ou aproximadamente 12\\ \text{cm}.
A fase:
\delta=\operatorname{atan2}\big(0,\\\ 5(1+\sqrt{2})\big).
Como o numerador é 0 e o denominador é positivo, \delta=0 (ou 0^\circ). Isso significa que o vetor resultante está ao longo do eixo real positivo: as componentes imaginais (seno) se cancelaram.
Interpretação física rápida: as três ondas, uma com fase negativa, uma com fase zero e outra com fase positiva simetricamente, têm as partes imaginárias cancelando e as reais somando; por isso o resultado é uma senoide com fase zero e amplitude maior que 5 mas menor que 15.

Passo 5

Calculemos também a soma apenas das ondas 1 e 3 (opção (e) pede isso): essas têm fases -\tfrac{\pi}{4} e +\tfrac{\pi}{4}.
Somando as projeções em coseno:
\sum_{i=1,3}A_i\cos\varphi_i=5\cos(-\tfrac{\pi}{4})+5\cos(\tfrac{\pi}{4})=5\Big(\tfrac{\sqrt{2}}{2}+\tfrac{\sqrt{2}}{2}\Big)=5\sqrt{2}.
Somando as projeções em seno:
\sum_{i=1,3}A_i\sin\varphi_i=5\sin(-\tfrac{\pi}{4})+5\sin(\tfrac{\pi}{4})=0.
Logo a amplitude da soma das duas é
A_{13}=5\sqrt{2}\approx5(1{,}41421356)\approx7{,}0710678\\ \text{cm},
ou seja aproximadamente 7{,}07\\ \text{cm}, que costuma ser arredondado para 7\\ \text{cm}.

Passo 6

Avaliação das alternativas (explicando por que cada uma é verdadeira ou falsa, sem repetir a listagem final):
  • Alternativa (a): diz que A\approx15\\ \text{cm}. Isso corresponderia à soma direta das amplitudes sem considerar fase (todas em fase). Mas como as fases não são iguais, o resultado real foi A\approx12{,}07\\ \text{cm}. Logo (a) é falsa.
  • Alternativa (b): diz \delta=\pi/2. Calculamos \delta=0. Portanto (b) é falsa.
  • Alternativa (c): diz \delta=3\pi/2. Também é falsa, pois \delta=0.
  • Alternativa (d): diz A\approx12\\ \text{cm}. Nosso cálculo deu A\approx12{,}07\\ \text{cm}, então (d) é verdadeira.
  • Alternativa (e): sobre somar apenas as ondas 1 e 3, obtivemos A_{13}\approx7{,}07\\ \text{cm}, portanto a afirmação "aproximadamente 7\\ \text{cm}" é verdadeira.
  • Alternativa (f): diz \delta=0^\circ. Calculamos \delta=0, logo (f) é verdadeira.

Resposta

d
e
f

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