Um circuito RLC em série é composto por um resistor (
), um indutor (
) e um capacitor
conectados em série com uma fonte de força eletromotriz
. Esse tipo de circuito é fundamental em diversos sistemas elétricos e eletrônicos, desde filtros de frequência até sistemas de comunicação. A equação diferencial ordinária (EDO) que descreve o comportamento da carga
no capacitor, quando o circuito é submetido a uma força eletromotriz
, é:
-
: representa a tensão no indutor, associada à variação da corrente no tempo (aceleração da carga).
-
: representa a queda de tensão no resistor, proporcional à corrente
.
-
: representa a tensão no capacitor, proporcional à quantidade de carga acumulada.
-
: é a força eletromotriz aplicada ao circuito.
Considere um circuito RLC série com os seguintes componentes
:
- Resistor:
ohms
- Indutor:
henry
- Capacitor:
farad
- Força eletromotriz:
As condições iniciais são:
- Carga inicial no capacitor:
coulombs
- Corrente inicial no indutor:
amperes
Determine a corrente
no circuito para
, utilizando transformada de Laplace.
Representação gráfica da solução: Construa o gráfico da função
encontrada, utilizando um software de sua escolha. O gráfico deve apresentar um intervalo de tempo adequado para visualizar o comportamento transitório e permanente.
Simulação: Implemente uma simulação do circuito RLC analisado utilizando o simulador Falstad (https://www.falstad.com/circuit/), em seguida, preencha a tabela indicada.
Orientações para o simulador:
- Acesse o site e em “Exemplos de Circuitos”, selecione a opção “Básicos” e na sequência “Circuito RLC”.
- Construa o circuito com as componentes e os parâmetros exatos do problema ( 1 resistor, 1 indutor, 1 capacitor e 1 fonte de tensão - se quiser, pode utilizar uma chave).
- Configure a fonte de força eletromotriz conforme especificado no enunciado.
- Tipo de Fonte: Selecione uma fonte de tensão alternada (AC), que produz uma forma de onda senoidal.
- Amplitude da Tensão: Configure o valor de pico da tensão conforme o valor máximo da força eletromotriz
.
- Frequência Angular: A frequência angular da fonte é determinada pela expressão matemática da força eletromotriz. Se
.
, então
é a frequência angular em rad/s. A frequência em hertz
é calculada por
.
- Fase Inicial: Se a força eletromotriz inclui um deslocamento de fase
, como em
, configure também este valor em radianos ou graus, conforme solicitado pelo simulador.
- Para este problema, uma força eletromotriz puramente senoidal produz uma tensão alternada sem componente DC - valor médio constante da tensão produzida por uma fonte de alimentação.
- Em um fio sem nenhuma componente, clique duas vezes com o botão direito e selecione “Mostrar Corrente”.
- Inicie a simulação. Você pode alterar a velocidade da simulação e a velocidade da animação da corrente no circuito (neste simulador a corrente no sentido horário tem sinal negativo e no sentido anti-horário tem sinal positivo).
- Ao parar a simulação, anote o tempo indicado e o valor da corrente exibida no fio selecionado. Preste atenção ao sinal da corrente (positivo ou negativo). Registre os dados obtidos na tabela abaixo.
Instante De Tempo (s)
Corrente (A)
Marque estes mesmos pontos no gráfico da sua solução analítica para facilitar a comparação direta entre a abordagem teórica e o comportamento simulado do circuito. Em seguida, responda as seguintes perguntas:
Compreensão da Simulação:
- Como foi preciso ajustar a fonte de tensão AC para se aproximar da força eletromotriz
? Quais limitações encontraram ao tentar replicar essa função na simulação?
Análise do Comportamento do Circuito:
- Na solução analítica, quais termos representam o comportamento transitório do circuito (a parte que desaparece com o tempo) e quais representam o comportamento em regime permanente (a parte que continua oscilando)? Além disso, vocês perceberam alguma semelhança entre o oscilador amortecido (Atividade Somativa 01) e o circuito RLC (Atividade Somativa 02)?
-
Os parâmetros e valores numéricos fornecidos neste problema são simplificados para fins didáticos e facilitação dos cálculos.
Instante De Tempo (s) | Corrente (A) | |
|
||
|
||
|
||
Os parâmetros e valores numéricos fornecidos neste problema são simplificados para fins didáticos e facilitação dos cálculos.
Passo 1
Nesse exercício temos um circuito RLC em série com R=4 Ω, L=1 H e C=1/5 F submetido a ε(t)=10 sen(3t), e queremos achar a corrente i(t) para t>0 usando transformada de Laplace. A EDO é:
Passo 2
Aplicando a transformada de Laplace na EDO e usando q(0)=q’(0)=0 obtemos
Logo
Passo 3
Fazendo frações parciais:
Igualando numeradores e resolvendo o sistema de coeficientes, encontra-se A=−3/4, B=27/4, C=3/4 e D=−15/4.
Passo 4
Note que s2+4s+5=(s+2)2+1. Reescrevendo o termo (Cs+D)/(s^2+4s+5) em função de (s+2) e aplicando a transformada inversa usando as tabelas de L{-1}{s/(s2+ω^2)}, L{-1}{ω/(s2+ω^2)} e L{-1}{(s+a)/[(s+a)2+ω^2] e^{-at}}, chegamos aos termos de cosseno e seno amortecidos.
Passo 5
Somando o regime permanente (senóide forçada) e o transiente amortecido, a corrente no tempo é
Resposta
i(t)=-\frac{3}{4}\cos(3t)+\frac{9}{4}\sin(3t)+\frac{3}{4}e{-2t}\cos(t)-\frac{21}{4}e{-2t}\sin(t)