Um engenheiro eletrônico é responsável por garantir que um componente eletrônico crítico em um dispositivo não superaqueça. O componente gera calor enquanto opera, e a dissipação desse calor é essencial para evitar falhas. O modelo térmico do componente é simplificado e descrito pela seguinte equação diferencial:
C d T(t)d t+h(T(t)-Ta m b)=P(t)
Onde:
  • T(t) é a temperatura do componente em função do tempo.
  • Ta m b é a temperatura ambiente (constante).
  • C é a capacidade térmica do componente (em J / ^circ C ).
  • h é o coeficiente de transferência de calor (em W / ^circ C ).
  • P(t) é a potência dissipada pelo componente (em W ).
Determinar como a temperatura T(t) do componente varia ao longo do tempo quando a potência dissipada P(t) é um degrau unitário, ou seja, a potência é ligada subitamente em um determinado instante. Utilize Transformada de Laplace para resolver essa EDO e assuma que T(0)=Ta m b (o componente começa na temperatura ambiente).

Dados ^1 :

  • Capacidade térmica do componente: C=0,1 J / ^circ C
  • Coeficiente de transferência de calor: h=0,02 W / ^circ C
  • Temperatura ambiente: Ta m b=25^circ C
  • Potência dissipada: P(t)=0,5 U(t-1) W (degrau unitário de 0,5 W aplicado em t=1 s )
Verificação: Verifique se a solução encontrada satisfaz a equação diferencial original e as condições iniciais
Temperatura de Equilíbrio: Qual é a temperatura que o componente atingirá após um longo período de tempo (quando ^1 tende ao infinito)? Justifique sua resposta utilizando a equação.

Modelagem Gráfica:

  • Utilize um software para plotar o gráfico da função solução (cole aqui a imagem). Identifique os principais pontos no gráfico, como a temperatura inicial, a temperatura de equilíbrio e o comportamento da curva ao longo do tempo.

  1. t Os parâmetros e valores numéricos fornecidos neste problema são simplificados para fins didáticos e facilitação dos cálculos.

Passo 1

O exercício trata de um modelo térmico de um componente que satisfaz a EDO de primeira ordem C,dTdt+hl(T(t)-Tambr)=P(t). Aqui vamos usar Transformada de Laplace para resolver quando P(t)=0,5,U(t-1), com condição inicial T(0)=Tamb. Os dados são: C=0,1, h=0,02, Tamb=25 e P(s)=0,5,e^-s/s.

Passo 2

Aplicamos Laplace em cada termo da EDO. Como T(0)=Tamb, obtemos
Cl(sT(s)-Tambr)+hl(T(s)-Tambsr)=0.5,e^-ss

Passo 3

Isolando T(s):
(C,s+h),T(s)=C,Tamb+h,Tambs+0.5,e^-ss
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T(s)=C,TambC,s+h+h,Tambs,(C,s+h)+0.5,e^-ss,(C,s+h)

Passo 4

Para fazer a inversa, reconhecemos que o sistema é linear e usaremos a forma de convolução. Sabemos que a resposta ao degrau deslocado é
T(t)=Tamb+1Cintegral0^te^-hC(t-u)P(u),du
Como P(u)=0,5 para u>=1 e zero antes, para t<1 a integral é zero, e para t>=1:
T(t)=25+0.50.1integral1^te^-t-u5du
Calculando a integral:
integral1^te^-t-u5du=5l[1-e^-t-15r]

Passo 5

Substituindo de volta:
T(t)=25+0.50.1cdot5l[1-e^-t-15r] =25+25l[1-e^-t-15r],
comportando-se assim:
T(t)= 25, & 0<= t<1, 25+25l[1-e^-t-15r], & t>=1

Passo 6

Verificamos facilmente que para t<1 a EDO vira dT/dt=0, logo T=25. Para t>=1 substituímos T(t) na EDO original e confirmamos que satisfaz, e em t=0 temos T(0)=25=Tamb.

Passo 7

A temperatura de equilíbrio é o valor limite quando ttoinfty. Como e^-(t-1)/5to0, obtemos
T(infty)=25+25=50,^circC
Esse resultado também decorre de impor dT/dt=0 na EDO, que dá h(Teq-25)=0,5 e portanto Teq=25+0.5/h=50.

Passo 8

Para modelagem gráfica, não disponho aqui de ferramenta para gerar a imagem, mas o gráfico é uma curva constante em 25,^circC até t=1, seguido de um crescimento exponencial com constante de tempo tau=C/h=5,s, indo assintoticamente a 50,^circC.

Resposta

A temperatura do componente é
T(t)= 25, & 0<= t<1, 25+25l[1-e^-t-15r], & t>=1
A temperatura de equilíbrio quando ttoinfty é 50,^circC.

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