Um engenheiro eletrônico é responsável por garantir que um componente eletrônico crítico em um dispositivo não superaqueça. O componente gera calor enquanto opera, e a dissipação desse calor é essencial para evitar falhas. O modelo térmico do componente é simplificado e descrito pela seguinte equação diferencial:
Onde:
é a temperatura do componente em função do tempo.
é a temperatura ambiente (constante).
é a capacidade térmica do componente (em ).
é o coeficiente de transferência de calor (em ).
é a potência dissipada pelo componente (em ).
Determinar como a temperatura do componente varia ao longo do tempo quando a potência dissipada é um degrau unitário, ou seja, a potência é ligada subitamente em um determinado instante. Utilize Transformada de Laplace para resolver essa EDO e assuma que (o componente começa na temperatura ambiente).
Dados :
Capacidade térmica do componente:
Coeficiente de transferência de calor:
Temperatura ambiente:
Potência dissipada: (degrau unitário de aplicado em )
Verificação: Verifique se a solução encontrada satisfaz a equação diferencial original e as condições iniciais
Temperatura de Equilíbrio: Qual é a temperatura que o componente atingirá após um longo período de tempo (quando tende ao infinito)? Justifique sua resposta utilizando a equação.
Modelagem Gráfica:
Utilize um software para plotar o gráfico da função solução (cole aqui a imagem). Identifique os principais pontos no gráfico, como a temperatura inicial, a temperatura de equilíbrio e o comportamento da curva ao longo do tempo.
Os parâmetros e valores numéricos fornecidos neste problema são simplificados para fins didáticos e facilitação dos cálculos.
Passo 1
O exercício trata de um modelo térmico de um componente que satisfaz a EDO de primeira ordem . Aqui vamos usar Transformada de Laplace para resolver quando , com condição inicial . Os dados são: , , e .
Passo 2
Aplicamos Laplace em cada termo da EDO. Como , obtemos
Passo 3
Isolando :
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Passo 4
Para fazer a inversa, reconhecemos que o sistema é linear e usaremos a forma de convolução. Sabemos que a resposta ao degrau deslocado é
Como para e zero antes, para a integral é zero, e para :
Calculando a integral:
Passo 5
Substituindo de volta:
comportando-se assim:
Passo 6
Verificamos facilmente que para t<1 a EDO vira dT/dt=0, logo T=25. Para t>=1 substituímos T(t) na EDO original e confirmamos que satisfaz, e em t=0 temos T(0)=25=Tamb.
Passo 7
A temperatura de equilíbrio é o valor limite quando ttoinfty. Como e^-(t-1)/5to0, obtemos
T(infty)=25+25=50,^circC
Esse resultado também decorre de impor dT/dt=0 na EDO, que dá h(Teq-25)=0,5 e portanto Teq=25+0.5/h=50.
Passo 8
Para modelagem gráfica, não disponho aqui de ferramenta para gerar a imagem, mas o gráfico é uma curva constante em 25,^circC até t=1, seguido de um crescimento exponencial com constante de tempo tau=C/h=5,s, indo assintoticamente a 50,^circC.
Resposta
A temperatura do componente é
T(t)= 25, & 0<= t<1, 25+25l[1-e^-t-15r], & t>=1
A temperatura de equilíbrio quando ttoinfty é 50,^circC.