Um circuito RLC série \operatorname{com} R=50 \Omega, L=0,1 \mathrm{H} e C=50 \mu \mathrm{~F}, tem uma fonte de tensão constante V=100 \mathrm{~V} aplicada no instante \mathrm{t}=0. Obtenha a corrente transitória para condições iniciais nulas.

Passo 1

O que o enunciado pede: obter a corrente transitória i(t) no circuito série RLC quando uma fonte contínua de V=100\\ \mathrm{V} é conectada no instante t=0, com condições iniciais nulas.
Dados fornecidos:
R=50\\ \Omega,\qquad L=0{,}1\\ \mathrm{H},\qquad C=50\\ \mu\mathrm{F}=50\times10^{-6}\\ \mathrm{F},
V(t)=100\\ \mathrm{V}\\ \text{(constante aplicada em }t=0),\qquad i(0)=0,\qquad v_C(0)=0.
Pergunta: encontrar explicitamente i(t) para t\ge 0.

Passo 2

Escrevendo a lei das malhas (KVL) para o circuito série temos, em termos da corrente i(t) e da carga q(t) no capacitor ( i=\dfrac{dq}{dt}):
L\frac{di}{dt}+Ri+\frac{1}{C}\int_{0}^{t} i(\tau)\,d\tau = V.
Aqui L\frac{di}{dt} é a tensão no indutor, Ri na resistência e \dfrac{1}{C}\int i na capacitância (tensão no capacitor). Diferenciamos ambos os lados em relação a t para obter uma EDO de segunda ordem somente em i(t) (isso elimina a integral):
L\frac{d^2 i}{dt^2} + R\frac{di}{dt} + \frac{1}{C} i = 0.
Observação importante sobre condições iniciais: a equação original em t=0
L\frac{di}{dt}(0)+R i(0)+\frac{1}{C}\int_{0}^{0}i(\tau)d\tau = V,
como i(0)=0 e a integral é zero, segue
L\frac{di}{dt}(0)=V \quad\Rightarrow\quad \frac{di}{dt}(0)=\frac{V}{L}.
Calculando numericamente:
\frac{di}{dt}(0)=\frac{100}{0{,}1}=1000\\ \mathrm{s^{-1}}.

Passo 3

Vamos colocar a EDO no formato canônico e obter os parâmetros naturais. Dividindo por L:
\frac{d^2 i}{dt^2} + \frac{R}{L}\frac{di}{dt} + \frac{1}{LC} i = 0.
Substituindo os valores:
\frac{d^2 i}{dt^2} + 500\,\frac{di}{dt} + 200000\, i = 0,
pois \dfrac{R}{L}=\dfrac{50}{0{,}1}=500 e \dfrac{1}{LC}=\dfrac{1}{0{,}1\cdot50\cdot10^{-6}}=200000.
Escrevendo em termos dos parâmetros padrão 2\alpha=\dfrac{R}{L} e \omega_0^2=\dfrac{1}{LC} obtemos
2\alpha=500\quad\Rightarrow\quad \alpha=250\\ \mathrm{s^{-1}},
\omega_0=\sqrt{200000}\approx 447{,}214\\ \mathrm{rad/s}.
Como \alpha<\omega_0, o regime natural é subamortecido e a frequência amortecida é
\omega_d=\sqrt{\omega_0^2-\alpha^2}=\sqrt{200000-62500}=\sqrt{137500}\approx 370{,}809\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 4

Forma geral da solução para regime subamortecido:
i(t)=e^{-\alpha t}\big(A\cos(\omega_d t)+B\sin(\omega_d t)\big).
Aplicamos as condições iniciais para determinar A e B.
Da condição i(0)=0 segue
i(0)=A=0 \quad\Rightarrow\quad A=0.
Derivando i(t):
\frac{di}{dt}=-\alpha e^{-\alpha t}(A\cos\omega_d t + B\sin\omega_d t)+e^{-\alpha t}(-A\omega_d\sin\omega_d t + B\omega_d\cos\omega_d t).
Em t=0, com A=0,
\frac{di}{dt}(0)=B\omega_d.
Usando \dfrac{di}{dt}(0)=1000 achado no Passo 2, temos
B=\frac{1000}{\omega_d}=\frac{1000}{\sqrt{137500}}.
Numericamente,
B\approx \frac{1000}{370{,}809}\approx 2{,}696.

Passo 5

Substituindo A e B na solução geral obtemos a corrente transitória:
i(t)=\frac{1000}{\sqrt{137500}}\,e^{-250 t}\sin\big(\sqrt{137500}\,t\big).
Em forma numérica aproximada:
i(t)\approx 2{,}696\;e^{-250 t}\sin\big(370{,}809\;t\big)\quad\text{(A)}.

Resposta

i(t)=\dfrac{1000}{\sqrt{137500}}\,e^{-250 t}\sin\big(\sqrt{137500}\,t\big)

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