Um circuito RLC série, \operatorname{com} R=200 \Omega, L=0,1 \mathrm{He} C=100 \mu \mathrm{~F}, tem uma fonte de tensão de 200 V aplicada em \mathrm{t}=0. Encontre a corrente transitória, assumindo que a carga inicial no capacitor é zero.

Passo 1

O enunciado dá um circuito série RLC com uma fonte de tensão aplicada em t=0. Pedido: encontrar a corrente transitória i(t) para t>0, assumindo que a carga inicial do capacitor é zero. Dados fornecidos:
R=200\\ \Omega,\qquad L=0{,}1\\ \mathrm{H},\qquad C=100\\ \mu\mathrm{F}=100\times10^{-6}\\ \mathrm{F},
e a fonte é uma tensão em degrau de amplitude
V(t)=200\\ \mathrm{V}\quad\text{(aplicada em \(t=0\)).}
Informações iniciais relevantes: carga inicial do capacitor zero (logo v_C(0)=0). A tarefa é obter i(t) para t>0.

Passo 2

Escrevemos a lei de Kirchhoff de tensão (KVL) no circuito série:
L\frac{di}{dt}+R\,i+v_C(t)=V(t).
Relação entre corrente e tensão do capacitor:
i(t)=C\frac{dv_C}{dt}.
Para obter uma equação só em i(t) derivamos a equação KVL em relação ao tempo e usamos i=C\,dv_C/dt. Derivando:
L\frac{d^2 i}{dt^2}+R\frac{di}{dt}+\frac{1}{C}i=\frac{dV}{dt}.
Como a fonte é um degrau V(t)=200\,u(t), para t>0 temos \dfrac{dV}{dt}=0 (o termo em delta afeta apenas as condições iniciais no instante 0). Assim, para t>0 obtemos a equação homogênea:
L\frac{d^2 i}{dt^2}+R\frac{di}{dt}+\frac{1}{C}i=0.

Passo 3

Substituímos os valores numéricos em \,L\frac{d^2 i}{dt^2}+R\frac{di}{dt}+\frac{1}{C}i=0\::
0{,}1\frac{d^2 i}{dt^2}+200\frac{di}{dt}+10000\,i=0,
pois \dfrac{1}{C}=\dfrac{1}{100\times10^{-6}}=10000. Dividindo por 0{,}1 para normalizar:
\frac{d^2 i}{dt^2}+2000\frac{di}{dt}+100000\,i=0.

Passo 4

Precisamos das condições iniciais em t=0^+.
  • Continuidade da tensão no capacitor dá v_C(0^-)=v_C(0^+)=0 (dado que a carga inicial é zero).
  • Continuidade da corrente no indutor (antes da aplicação da fonte não havia corrente no circuito estacionário), logo i(0)=0.
Para obter \dfrac{di}{dt}(0^+) usamos a KVL em t=0^+:
L\frac{di}{dt}(0^+)+R\,i(0)+v_C(0)=V(0^+)=200.
Substituindo i(0)=0 e v_C(0)=0:
L\frac{di}{dt}(0^+)=200 \quad\Rightarrow\quad \frac{di}{dt}(0^+)=\frac{200}{L}=\frac{200}{0{,}1}=2000\\ \mathrm{A/s}.

Passo 5

Resolvemos a equação característica associada à ODE:
s^2+2000s+100000=0.
É útil escrever em termos de \alpha e \omega_0:
2\alpha=2000\Rightarrow \alpha=1000,\qquad \omega_0=\sqrt{\frac{1}{LC}}=\sqrt{100000}=316{,}2277\\ \mathrm{s^{-1}}.
Como \alpha>\omega_0 temos regime superamortecido (raízes reais distintas). As raízes são
s_{1,2}=-1000\pm\sqrt{1000^2-100000}=-1000\pm\sqrt{900000}=-1000\pm300\sqrt{10}.
Numericamente:
s_1\approx -51{,}3167\\ \mathrm{s^{-1}},\qquad s_2\approx -1948{,}6833\\ \mathrm{s^{-1}}.

Passo 6

A solução geral para t>0 é
i(t)=A\,e^{s_1 t}+B\,e^{s_2 t},
com s_1 e s_2 dados acima. Aplicamos as condições iniciais:
  1. i(0)=0\Rightarrow A+B=0.
  2. \dfrac{di}{dt}(0)=2000\Rightarrow s_1A+s_2B=2000.
Da primeira equação B=-A. Substituindo na segunda:
s_1A+s_2(-A)=2000\Rightarrow A(s_1-s_2)=2000.
Como s_1-s_2=600\sqrt{10}, obtemos
A=\frac{2000}{600\sqrt{10}}=\frac{2000}{600}\cdot\frac{1}{\sqrt{10}}=\frac{10}{3}\cdot\frac{1}{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{10}}{3}.
E então
B=-\frac{\sqrt{10}}{3}.

Passo 7

Fiz uma verificação física rápida: os coeficientes s_1,s_2 são negativos, logo i(t) decai para zero quando t\to\infty, o que faz sentido pois em regime estacionário com fonte DC o capacitor bloqueia a corrente. As constantes encontradas são compatíveis numericamente com a condição de derivada inicial \,2000\\ \mathrm{A/s}.

Resposta

i(t)=\frac{\sqrt{10}}{3}\Big(e^{(-1000+300\sqrt{10})t}-e^{(-1000-300\sqrt{10})t}\Big)\\ \mathrm{A},\qquad t>0

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