Um circuito RLC série,
, tem uma fonte de tensão de 200 V aplicada em
. Encontre a corrente transitória, assumindo que a carga inicial no capacitor é zero.
Passo 1
O enunciado dá um circuito série RLC com uma fonte de tensão aplicada em
. Pedido: encontrar a corrente transitória
para
, assumindo que a carga inicial do capacitor é zero. Dados fornecidos:
e a fonte é uma tensão em degrau de amplitude
Informações iniciais relevantes: carga inicial do capacitor zero (logo
). A tarefa é obter
para
.
Passo 2
Escrevemos a lei de Kirchhoff de tensão (KVL) no circuito série:
Relação entre corrente e tensão do capacitor:
Para obter uma equação só em
derivamos a equação KVL em relação ao tempo e usamos
. Derivando:
Como a fonte é um degrau
, para
temos
(o termo em delta afeta apenas as condições iniciais no instante 0). Assim, para
obtemos a equação homogênea:
Passo 3
Substituímos os valores numéricos em
:
pois
. Dividindo por
para normalizar:
Passo 4
Precisamos das condições iniciais em
.
- Continuidade da tensão no capacitor dá
(dado que a carga inicial é zero). - Continuidade da corrente no indutor (antes da aplicação da fonte não havia corrente no circuito estacionário), logo
.
Para obter
usamos a KVL em
:
Substituindo
e
:
Passo 5
Resolvemos a equação característica associada à ODE:
É útil escrever em termos de
e
:
Como
temos regime superamortecido (raízes reais distintas). As raízes são
Numericamente:
Passo 6
A solução geral para
é
com
e
dados acima. Aplicamos as condições iniciais:
Da primeira equação
. Substituindo na segunda:
Como
, obtemos
E então
Passo 7
Fiz uma verificação física rápida: os coeficientes
são negativos, logo
decai para zero quando
, o que faz sentido pois em regime estacionário com fonte DC o capacitor bloqueia a corrente. As constantes encontradas são compatíveis numericamente com a condição de derivada inicial
.