Um circuito RLC paralelo, \operatorname{com} R=50 \Omega, C=200 \mu \mathrm{~F} e L_{o}=55,6 \mathrm{mH}, possui um capacitor inicialmente carregado com Q_{o}=5,0 \mathrm{mC}. Obtenha a expressão para a tensão sobre o circuito.

Passo 1

O enunciado pede: obter a expressão da tensão sobre o circuito RLC paralelo dado. Informações fornecidas:
\;R=50\\ \Omega,
\;C=200\\ \mu\mathrm{F}=200\times10^{-6}\\ \mathrm{F},
\;L_{0}=55{,}6\\ \mathrm{mH}=55{,}6\times10^{-3}\\ \mathrm{H},
\;Q_{0}=5{,}0\\ \mathrm{mC}=5{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{C}.
Também temos que o capacitor está inicialmente carregado com Q_{0}. O enunciado não informa a corrente inicial no indutor i_{L}(0); para prosseguir com a resolução vou adotar a hipótese usual quando não informada em exercícios de resposta natural: \;i_{L}(0)=0.

Passo 2

Montagem da equação diferencial pelo KCL no nó dos elementos em paralelo. As correntes são:
\;i_{C}=C\,\dfrac{dv}{dt},
\;i_{R}=\dfrac{v}{R},
\;i_{L}=i_{L}.
Pela conservação de corrente (sem fonte externa),
i_{C}+i_{R}+i_{L}=0.
Usamos a relação do indutor \;v=L\,\dfrac{di_{L}}{dt}. Diferenciando a equação de KCL para eliminar i_{L}:
C\,\frac{d^{2}v}{dt^{2}}+\frac{1}{R}\,\frac{dv}{dt}+\frac{v}{L}=0.
Colocando na forma padrão:
\frac{d^{2}v}{dt^{2}}+\frac{1}{RC}\,\frac{dv}{dt}+\frac{1}{LC}\,v=0.
Esta é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes — a equação da resposta natural da tensão no circuito paralelo.

Passo 3

Definimos os coeficientes característicos para interpretar a solução:
2\alpha=\frac{1}{RC},\qquad \omega_{0}^{2}=\frac{1}{LC}.
Calculamos numericamente as constantes com os valores dados.
Cálculo de RC:
RC=R\cdot C=50\cdot(200\times10^{-6})=0{,}01\\ \mathrm{s}.
Logo
\frac{1}{RC}=100\\ \mathrm{s^{-1}}\quad\text{e}\quad \alpha=\frac{1}{2RC}=50\\ \mathrm{s^{-1}}.
Cálculo de LC:
LC=(55{,}6\times10^{-3})\cdot(200\times10^{-6})=1{,}112\times10^{-5}\\ \mathrm{s^{2}}.
Logo
\omega_{0}=\frac{1}{\sqrt{LC}}=\sqrt{\frac{1}{1{,}112\times10^{-5}}}\approx 299{,}88\\ \mathrm{s^{-1}}.

Passo 4

Classificação do amortecimento: comparamos \alpha e \omega_{0}.
\alpha=50\\ \mathrm{s^{-1}},\qquad \omega_{0}\approx 299{,}88\\ \mathrm{s^{-1}}.
Como \alpha<\omega_{0}, o circuito é subamortecido (underdamped). Definimos a pulsação amortecida
\omega_{d}=\sqrt{\omega_{0}^{2}-\alpha^{2}}.
Calculando numericamente:
\omega_{d}=\sqrt{(299{,}88)^{2}-(50)^{2}}\approx 295{,}69\\ \mathrm{s^{-1}}.

Passo 5

Forma geral da solução para o caso subamortecido:
v(t)=A\,e^{-\alpha t}\cos(\omega_{d}t)+B\,e^{-\alpha t}\sin(\omega_{d}t),
com constantes A e B definidas pelas condições iniciais v(0) e \left.\dfrac{dv}{dt}\right|_{t=0}.

Passo 6

Condições iniciais fornecidas / obtidas:
A carga inicial do capacitor \;Q_{0} fornece a tensão inicial no capacitor:
v(0)=\frac{Q_{0}}{C}=\frac{5{,}0\times10^{-3}}{200\times10^{-6}}=25\\ \mathrm{V}.
A derivada inicial da tensão obtém-se da KCL no instante t=0:
C\left.\frac{dv}{dt}\right|_{0}+\frac{v(0)}{R}+i_{L}(0)=0.
Adotando \;i_{L}(0)=0,
\left.\frac{dv}{dt}\right|_{0}=-\frac{v(0)}{RC}=-\frac{25}{0{,}01}=-2500\\ \mathrm{V\!/\!s}.

Passo 7

Determinação de A e B usando as condições iniciais. Em t=0:
v(0)=A=25.
Derivando a solução geral e avaliando em t=0 (derivada de v):
\left.\frac{dv}{dt}\right|_{0}=-\alpha A+\omega_{d}B.
Isolando B:
B=\frac{\left.\dfrac{dv}{dt}\right|_{0}+\alpha A}{\omega_{d}}.
Substituindo números:
B=\frac{-2500+50\cdot 25}{295{,}69}=\frac{-1250}{295{,}69}\approx -4{,}226.

Passo 8

Escrevendo a solução completa com os valores encontrados:
v(t)=e^{-50 t}\left(25\cos(295{,}69\,t)-4{,}226\sin(295{,}69\,t)\right)\quad\text{(volts)}.
Se preferir na forma de amplitude e fase:
v(t)=V_{m}\,e^{-50 t}\cos\big(\,295{,}69\,t+\varphi\,\big),
com
V_{m}=\sqrt{25^{2}+(-4{,}226)^{2}}\approx 25{,}36\\ \mathrm{V},
\varphi=\operatorname{atan2}(-4{,}226,25)\approx -0{,}167\\ \mathrm{rad}\\ (\approx -9{,}6^\circ).

Resposta

v(t)=e^{-50 t}\left(25\cos(295{,}69\,t)-4{,}226\sin(295{,}69\,t)\right)\\ \text{V}.

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