Um circuito RLC paralelo, \operatorname{com} R=50 \Omega, C=200 \mu \mathrm{~F} e L_{o}=55,6 \mathrm{mH}, possui um capacitor inicialmente carregado com Q_{o}=5,0 \mathrm{mC}. Obtenha a expressão para a tensão sobre o circuito.
Passo 1
O enunciado pede: obter a expressão da tensão sobre o circuito RLC paralelo dado. Informações fornecidas: \;R=50\\ \Omega, \;C=200\\ \mu\mathrm{F}=200\times10^{-6}\\ \mathrm{F}, \;L_{0}=55{,}6\\ \mathrm{mH}=55{,}6\times10^{-3}\\ \mathrm{H}, \;Q_{0}=5{,}0\\ \mathrm{mC}=5{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{C}.
Também temos que o capacitor está inicialmente carregado com Q_{0}. O enunciado não informa a corrente inicial no indutor i_{L}(0); para prosseguir com a resolução vou adotar a hipótese usual quando não informada em exercícios de resposta natural: \;i_{L}(0)=0.
Passo 2
Montagem da equação diferencial pelo KCL no nó dos elementos em paralelo. As correntes são: \;i_{C}=C\,\dfrac{dv}{dt}, \;i_{R}=\dfrac{v}{R}, \;i_{L}=i_{L}.
Pela conservação de corrente (sem fonte externa),
i_{C}+i_{R}+i_{L}=0.
Usamos a relação do indutor \;v=L\,\dfrac{di_{L}}{dt}. Diferenciando a equação de KCL para eliminar i_{L}:
Esta é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes — a equação da resposta natural da tensão no circuito paralelo.
Passo 3
Definimos os coeficientes característicos para interpretar a solução: