*** Em um circuito RLC série, a tensão da fonte está adiantada de 30^{\circ} \mathrm{em} relação à corrente. Sabendo que \mathrm{R}=50 \Omega e a reatância capacitiva \mathrm{XC}=40 \Omega, qual o valor da reatância indutiva XL?
  • Resposta: XL=68.87 \Omega.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa só. Informações:
  • A tensão da fonte está adiantada de \;30^\circ\; em relação à corrente.
  • R = 50\\ \Omega.
  • A reatância capacitiva X_C = 40\\ \Omega.
    Pergunta: qual é o valor da reatância indutiva X_L?

Passo 2

Entendendo o circuito e as grandezas (mini-aula rápida e direta). Numa associação série R\!-\!L\!-\!C em corrente alternada, a impedância complexa total é
Z = R + j\,(X_L - X_C),
onde j é a unidade imaginária ( j^2=-1). Aqui:
  • R é a parte real da impedância (resistência).
  • X_L e X_C são as reatâncias indutiva e capacitiva; X_L soma na parte imaginária com sinal positivo e X_C com sinal negativo porque a reatância capacitiva “atrai” o vetor de corrente.
A fase da tensão em relação à corrente é o argumento (ângulo) de Z.

Passo 3

Ligando a fase ao argumento da impedância (explicando o porquê). Se a corrente é a referência de fase, a tensão total é V = I\cdot Z. Portanto o ângulo pelo qual a tensão está adiantada (ou atrasada) em relação à corrente é
\varphi = \arg(Z) = \arctan\!\bigg(\frac{\operatorname{Im}(Z)}{\operatorname{Re}(Z)}\bigg) = \arctan\!\bigg(\frac{X_L - X_C}{R}\bigg).
No enunciado a tensão está adiantada de \;30^\circ, ou seja \varphi = +30^\circ. O sinal positivo indica que a parte indutiva líquida é positiva ( X_L>X_C).

Passo 4

Montando a equação fundamental para resolver X_L. Usando a expressão do passo anterior:
\tan(30^\circ)=\frac{X_L - X_C}{R}.
Isolando X_L obtemos
X_L = X_C + R\cdot \tan(30^\circ).
Expliquei: aqui isolamos a variável procurada somando X_C em ambos os lados e multiplicando por R.

Passo 5

Avaliação numérica (mostrando cada conta). Primeiro use a identidade exata
\tan(30^\circ)=\frac{1}{\sqrt{3}} \approx 0{,}577350269.
Agora calcule R\cdot \tan(30^\circ):
R\cdot \tan(30^\circ)=50\cdot\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{50}{\sqrt{3}}\approx 28{,}8675\\ \Omega.
Somando com X_C:
X_L = 40 + 28{,}8675 \approx 68{,}8675\\ \Omega.
Arredondando para duas casas decimais (padrão prático em problemas de circuito):
X_L \approx 68{,}87\\ \Omega.

Passo 6

Resumo final do raciocínio (curto e motivador). A ideia-chave é que o ângulo entre tensão e corrente é dado por \arctan da parte imaginária sobre a real da impedância. Como \varphi=30^\circ, isolamos X_L e plugamos os números. Ficou exatamente o valor que você indicou — bom sinal, estamos alinhados!

Resposta

X_L = 68{,}87\\ \Omega

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