*** Um circuito série-paralelo é formado por uma fonte de 10 \mathrm{~V}, 1 \mathrm{kHz}. \mathrm{R} 1=1 \mathrm{k} \Omega está em série com um conjunto paralelo de \mathrm{C}=100 \mathrm{nF} e \mathrm{L}=30 \mathrm{mH}. Encontre a impedância total do circuito.
  • Resposta: O ramo paralelo tem impedância \mathrm{Zp}=\mathrm{j} 243.3 \Omega. A impedância total é ZT=(1000+j243.3) \Omega.

Passo 1

O enunciado pede que eu encontre a impedância total do circuito onde R1 está em série com um ramo paralelo formado por C e L. Dados fornecidos:
\text{Fonte: }10\\ \mathrm{V},\\\ 1\\ \mathrm{kHz}
R1 = 1\\ \mathrm{k}\Omega
C = 100\\ \mathrm{nF}
L = 30\\ \mathrm{mH}
Perguntas explícitas: encontrar a impedância do ramo paralelo ( Z_p) e a impedância total do circuito ( Z_T).

Passo 2

Antes de calcular, vamos lembrar como representar cada componente em regime senoidal (com números complexos):
\text{Resistor: } Z_R = R
\text{Indutor: } Z_L = j\omega L
\text{Capacitor: } Z_C = \frac{1}{j\omega C} = -\,\frac{j}{\omega C}
Explicando: j é a unidade imaginária ( j^2=-1) e \omega é a velocidade angular da fonte, dada por \omega = 2\pi f. Essas fórmulas vêm da relação entre tensão e corrente para cada componente no regime senoidal; não precisa decorar além disso, basta saber que indutor dá reatância indutiva +\!jX_L e capacitor dá reatância capacitiva -\!jX_C.

Passo 3

Calcular \omega:
\omega = 2\pi f = 2\pi \cdot 1000 = 2000\pi\\ \mathrm{rad/s}\approx 6283{,}185\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 4

Calcular os módulos das reatâncias e as impedâncias individuais:
X_L = \omega L = 2000\pi \cdot 0{,}03 = 60\pi \approx 188{,}4956\\ \Omega, \qquad Z_L = jX_L = j\,188{,}4956\\ \Omega.
X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{2000\pi \cdot 100\times 10^{-9}} = \frac{5000}{\pi} \approx 1591{,}5494\\ \Omega, \qquad Z_C = -\,jX_C = -\,j\,1591{,}5494\\ \Omega.
Comentário prático: verás que X_C é bem maior que X_L aqui — isso indica que, isoladamente, o capacitor reage mais fortemente (impede mais a corrente) nessa frequência do que o indutor.

Passo 5

Agora calculo a impedância do paralelo Z_p. A fórmula do paralelo de dois impedâncias é
Z_p = \frac{Z_L\,Z_C}{Z_L + Z_C}.
Substituindo Z_L = jX_L e Z_C=-jX_C,
Z_p = \frac{(jX_L)(-jX_C)}{jX_L - jX_C} = \frac{-j^2\,X_L X_C}{j(X_L - X_C)} = \frac{X_L X_C}{j(X_L - X_C)}.
Agora reorganizo para uma forma imaginária mais direta: como \dfrac{1}{j}=-j, obtemos
Z_p = j\cdot\frac{X_L X_C}{X_C - X_L}.
Essa forma é útil: vemos que Z_p é puramente imaginária (ou seja, reativo) quando L e C são puros, e seu sinal depende de X_C-X_L.

Passo 6

Substituo os valores numéricos:
X_L X_C = (60\pi)\left(\frac{5000}{\pi}\right) = 60\cdot 5000 = 300000.
X_C - X_L = 1591{,}5494 - 188{,}4956 = 1403{,}0538\\ \Omega.
Portanto
Z_p = j\cdot\frac{300000}{1403{,}0538}\\ \Omega \approx j\;213{,}94\\ \Omega.
Interpretação rápida: o paralelo L\parallel C resultou em uma reatância indutiva efetiva de aproximadamente j\,213{,}94\\ \Omega.

Passo 7

Como R1 está em série com esse ramo paralelo, a impedância total é soma simples (parte real somada, parte imaginária somada):
Z_T = R1 + Z_p = 1000\\ \Omega + j\,213{,}94\\ \Omega.

Passo 8

(opcional — para saber magnitude e fase, útil na prova)
Magnitude:
|Z_T| = \sqrt{1000^2 + 213{,}94^2}\\ \Omega \approx \sqrt{1{,}000{,}000 + 45{,}769{,}7}\\ \Omega \approx 1022{,}66\\ \Omega.
Fase (ângulo):
\theta = \arctan\!\left(\frac{213{,}94}{1000}\right) \approx 12{,}07^\circ.

Resposta

Z_p = j\,213{,}94\\ \Omega
Z_T = 1000 + j\,213{,}94\\ \Omega

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