Em que frequência a reatância indutiva de um indutor de 57 \mu \mathrm{H} será igual à reatância capacitiva de um capacitor se 57 \mu \mathrm{~F} ?

Passo 1

O enunciado pede: “Em que frequência a reatância indutiva de um indutor de 57\\ \mu\mathrm{H} será igual à reatância capacitiva de um capacitor de 57\\ \mu\mathrm{F} ?”\n\nInformações dadas:\n \;L = 57\\ \mu\mathrm{H}\n \;C = 57\\ \mu\mathrm{F}\nPergunta a responder:\nA frequência f (em Hz) tal que a reatância indutiva seja igual à reatância capacitiva.

Passo 2

Vamos lembrar o que são as reatâncias e suas fórmulas (isso é importante para entender o que estamos igualando):\n\nA reatância indutiva X_L é a “resistência” que um indutor apresenta para sinais alternados e é dada por\n X_L = 2\pi f L\nonde:\n f é a frequência em Hz,\n L é a indutância em henries (H).\n\nA reatância capacitiva X_C é a “resistência” que um capacitor apresenta para sinais alternados e é dada por\n X_C = \frac{1}{2\pi f C}\nonde:\n C é a capacitância em farads (F).\n\nObs.: as unidades de X_L e X_C são ohms ( \Omega). A condição pedida é X_L = X_C.

Passo 3

Formule matematicamente a condição de igualdade das reatâncias:\n 2\pi f L = \frac{1}{2\pi f C}\nEsta é a equação que vamos resolver para f.

Passo 4

Manipule algebraicamente para isolar f. Primeiro multiplico os dois lados por 2\pi f:\n (2\pi f)^2 L = \frac{1}{C}\nAgora divido por L e isolo f^2:\n (2\pi f)^2 = \frac{1}{LC}\n f^2 = \frac{1}{(2\pi)^2 LC}\nLogo a solução positiva (frequência) é\n f = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}\nEssa fórmula é a mesma da frequência natural (ressonância) de um circuito LC ideal — útil de decorar.

Passo 5

Converta L e C para unidades SI e substitua na fórmula.\n L = 57\\ \mu\mathrm{H} = 57\times 10^{-6}\\ \mathrm{H}\n C = 57\\ \mu\mathrm{F} = 57\times 10^{-6}\\ \mathrm{F}\nSubstituindo em f = \dfrac{1}{2\pi\sqrt{LC}}:\n f = \frac{1}{2\pi\sqrt{(57\times10^{-6})(57\times10^{-6})}}

Passo 6

Calcule passo a passo os valores numéricos:\n LC = (57\times10^{-6})^2 = 3{,}249\times10^{-9}\n \sqrt{LC} = \sqrt{3{,}249\times10^{-9}} \approx 5{,}699153\times10^{-5}\n 2\pi\sqrt{LC} \approx 6{,}2831853 \times 5{,}699153\times10^{-5} \approx 3{,}57993\times10^{-4}\nAgora o inverso:\n f \approx \frac{1}{3{,}57993\times10^{-4}}\\ \mathrm{Hz} \approx 2{,}79399\times10^{3}\\ \mathrm{Hz}

Passo 7

Arredondando de forma prática para a prova e expressando em kilohertz:\n f \approx 2{,}79\\ \mathrm{kHz}\nIsso significa que, por volta de 2{,}79\\ \mathrm{kHz}, a reatância do indutor de 57\\ \mu\mathrm{H} será igual à reatância do capacitor de 57\\ \mu\mathrm{F}. Boa notícia: os cálculos ficam simples porque L e C têm o mesmo valor numérico em microunidades.

Resposta

f \approx 2{,}79\\ \mathrm{kHz}

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