Se U=x^{2}+2 y^{2}+3 z^{2}, expresse U em coordenadas esféricas.

Passo 1

O enunciado dá a função U=x^{2}+2y^{2}+3z^{2} e pede para expressá‑la em coordenadas esféricas.
Informações fornecidas:
  • A função em coordenadas cartesianas é U=x^{2}+2y^{2}+3z^{2}.
    O objetivo é reescrever U em termos das variáveis esféricas r,\theta,\varphi.

Passo 2

Definir claramente as coordenadas esféricas que vamos usar (convenção padrão):
x = r\sin\theta\cos\varphi, \qquad y = r\sin\theta\sin\varphi, \qquad z = r\cos\theta,
onde r\ge 0 é a distância ao origem, \theta\in[0,\pi] é o ângulo polar (medido a partir do eixo z) e \varphi\in[0,2\pi) é o ângulo azimutal no plano xy.

Passo 3

Substituir as expressões de x,y,z em U. Começando por substituir cada variável ao quadrado:
U = (r\sin\theta\cos\varphi)^{2} + 2\,(r\sin\theta\sin\varphi)^{2} + 3\,(r\cos\theta)^{2}.

Passo 4

Desenvolver os quadrados e fatorar r^{2} (como todas as parcelas têm r^{2}):
U = r^{2}\bigl(\sin^{2}\theta\cos^{2}\varphi + 2\sin^{2}\theta\sin^{2}\varphi + 3\cos^{2}\theta\bigr).

Passo 5

Simplificar a combinação dentro dos parênteses usando a identidade trigonométrica básica \cos^{2}\varphi+\sin^{2}\varphi=1. Observe que
\sin^{2}\theta\cos^{2}\varphi + 2\sin^{2}\theta\sin^{2}\varphi = \sin^{2}\theta\bigl(\cos^{2}\varphi + 2\sin^{2}\varphi\bigr) = \sin^{2}\theta\bigl(1 + \sin^{2}\varphi\bigr).
Assim o fator entre colchetes fica mais simples.

Passo 6

Reescrevendo com essa simplificação obtemos a expressão final em coordenadas esféricas (aqui apresentada de forma compacta, a resposta final estará apenas na seção de resposta):
U = r^{2}\bigl(\sin^{2}\theta\,(1+\sin^{2}\varphi) + 3\cos^{2}\theta\bigr).
Como checagem rápida: para pontos sobre o eixo z ( \theta=0) a expressão reduz para U=3r^{2}, que é consistente com x=y=0,\\ z=r. Para pontos sobre o eixo x ( \theta=\tfrac{\pi}{2},\\ \varphi=0) reduz para U=r^{2}, consistente com x=r,\\ y=z=0.

Resposta

U = r^{2}\bigl(\sin^{2}\theta\,(1+\sin^{2}\varphi) + 3\cos^{2}\theta\bigr)

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