3 - Em um circuito RC série, a tensão no capacitor é 80 V e no resistor 80 V . Sabendo-se que a corrente no circuito vale 200 mA , com f=60 \mathrm{~Hz}, determinar:
a) tensão no gerador
b) as expressōes matemáticas da corrente, tensão no gera dor e tensão no capacitor
c) diagrama fasorial
d) defasagem entre tensão e corrente
obs.: Os valores de tensão dados são eficazes

Passo 1

O enunciado fornece um circuito série RC e pede quatro coisas (vou listar exatamente o que é pedido e os dados que temos):
  • O que o enunciado pede:
    a) determinar a tensão no gerador (magnitude, sendo as tensões fornecidas eficazes);
    b) escrever as expressões matemáticas (no tempo) da corrente i(t), da tensão no gerador v_g(t) e da tensão no capacitor v_C(t);
    c) apresentar o diagrama fasorial (phasor) das tensões e da corrente;
    d) determinar a defasagem entre tensão e corrente (quem atrasa/adianta e em quantos graus).
  • Dados fornecidos (peguei estes valores do enunciado):
    • tensão eficaz no capacitor: \,V_C^{\text{rms}}=80\\ \text{V},
    • tensão eficaz no resistor: \,V_R^{\text{rms}}=80\\ \text{V},
    • corrente eficaz no circuito: \,I^{\text{rms}}=200\\ \text{mA}=0{,}2\\ \text{A},
    • frequência: \,f=60\\ \text{Hz}.
  • Observação dada: os valores das tensões são eficazes (rms).
A partir daí começamos a resolver usando relações básicas de circuitos AC senoidais.

Passo 2

Converter para grandezas úteis e obter R e a reatância capacitiva |X_C|.
  1. Converter corrente eficaz para ampères:
I^{\text{rms}}=0{,}2\\ \text{A}.
  1. Pelo resistor em série vale \,V_R^{\text{rms}}=I^{\text{rms}}\,R. Então
R=\frac{V_R^{\text{rms}}}{I^{\text{rms}}}=\frac{80}{0{,}2}=400\\ \Omega.
Explicação: ohmismo em AC para o resistor é igual ao DC; a tensão eficaz no resistor dividido pela corrente eficaz dá a resistência.
  1. Para o capacitor, a reatância (módulo) |X_C| satisfaz \,V_C^{\text{rms}}=I^{\text{rms}}\,|X_C|. Assim
|X_C|=\frac{V_C^{\text{rms}}}{I^{\text{rms}}}=\frac{80}{0{,}2}=400\\ \Omega.
Observação: a impedância do capacitor é \tilde Z_C=-j\,|X_C|=-j\,400\\ \Omega.
  1. Podemos também calcular a capacitância C a partir de |X_C|=\dfrac{1}{\omega C} com \omega=2\pi f:
\omega=2\pi\cdot 60=120\pi\\ \text{rad/s}\approx376{,}99\\ \text{rad/s},
C=\frac{1}{\omega |X_C|}=\frac{1}{(120\pi)\cdot 400}\approx6{,}63\times10^{-6}\\ \text{F}=6{,}63\\ \mu\text{F}.
Isso é útil se quiser conhecer o valor do capacitor explicitamente.

Passo 3

Calcular a impedância total e a tensão do gerador (módulo e fase), usando representação fasorial rms.
  1. Impedância do circuito série:
\tilde Z=R+jX_C=R - j|X_C|=400 - j\,400\\ \Omega.
Explicação: o termo jX representa a parte imaginária; para capacitor X_C é negativo, por isso escrevemos -j|X_C|.
  1. Módulo e ângulo da impedância:
|\tilde Z|=\sqrt{400^{2}+(-400)^{2}}=400\sqrt{2}\approx565{,}685\\ \Omega,
\angle\tilde Z=\arctan\!\left(\frac{\Im(\tilde Z)}{\Re(\tilde Z)}\right)=\arctan\!\left(\frac{-400}{400}\right)=-45^\circ.
Interpretação: a impedância tem fase -45^\circ (comportamento capacitivo dominante que causa defasagem negativa).
  1. Tensão eficaz do gerador (phasor rms):
    Usando \tilde V_g = \tilde Z \,\tilde I. Tomando a corrente como referência \tilde I=I^{\text{rms}}\angle 0^\circ=0{,}2\angle 0^\circ\\ \text{A},
|\tilde V_g|=I^{\text{rms}}\cdot|\tilde Z|=0{,}2\cdot 400\sqrt{2}=80\sqrt{2}\\ \text{V}\approx113{,}137\\ \text{V (rms)}.
Fase:
\angle\tilde V_g=\angle\tilde Z + \angle\tilde I=-45^\circ + 0^\circ=-45^\circ.
Outra maneira (geométrica): como V_R e V_C têm mesma magnitude e diferem de 90^\circ, o resultado é a hipotenusa: \sqrt{80^2+80^2}=80\sqrt2.

Passo 4

Escrever as formas fasorial e no tempo (expressões solicitadas) — vou dar as duas representações, rms para fasores e amplitudes para o tempo.
  1. Frequência angular:
\omega=2\pi f=120\pi\\ \text{rad/s}\approx376{,}99\\ \text{rad/s}.
  1. Fasores (eficazes/rms):
\tilde I=0{,}2\angle 0^\circ\\ \text{A}, \qquad \tilde V_R=80\angle 0^\circ\\ \text{V}, \qquad \tilde V_C=80\angle -90^\circ\\ \text{V},
\tilde V_g=80\sqrt{2}\angle -45^\circ\\ \text{V}\\ (\text{rms}).
Comentário: escolhi a corrente como referência angular nula; assim V_R fica em fase com I e V_C atrasa I de 90^\circ.
  1. Amplitudes (picos) e expressões no tempo (forma senoidal padrão):
    Converter rms para amplitudes-pico por V_{\text{peak}}=V^{\text{rms}}\sqrt2 e I_{\text{peak}}=I^{\text{rms}}\sqrt2:
I_{\text{peak}}=0{,}2\sqrt2\approx0{,}28284\\ \text{A}, \quad V_{R,\text{peak}}=80\sqrt2\approx113{,}137\\ \text{V},
V_{C,\text{peak}}=80\sqrt2\approx113{,}137\\ \text{V}, \quad V_{g,\text{peak}}=80\sqrt2\sqrt2=80\cdot 2=160\\ \text{V}.
Portanto as expressões temporais (escolhendo seno como padrão e corrente como referência):
i(t)=I_{\text{peak}}\sin(\omega t)=0{,}28284\,\sin(120\pi t)\\ \text{A},
v_R(t)=V_{R,\text{peak}}\sin(\omega t)=113{,}137\,\sin(120\pi t)\\ \text{V},
v_C(t)=V_{C,\text{peak}}\sin\!\left(\omega t-\tfrac{\pi}{2}\right)=113{,}137\,\sin\!\left(120\pi t-\tfrac{\pi}{2}\right)\\ \text{V},
v_g(t)=V_{g,\text{peak}}\sin\!\left(\omega t-\tfrac{\pi}{4}\right)=160\,\sin\!\left(120\pi t-\tfrac{\pi}{4}\right)\\ \text{V}.
Verificação rápida (soma das fasores): v_g(t)=v_R(t)+v_C(t) em todas as épocas, quando tratadas como fasores; em amplitude e fase isso corresponde ao vetor 80\angle0^\circ + 80\angle-90^\circ = 80\sqrt2\angle-45^\circ (rms), ou 160 \angle-45° em pico.

Passo 5

Desenho/descrição do diagrama fasorial (como montar o diagrama, com números prontos):
  • Eixos: eixo horizontal = parte real (ângulo 0^\circ); eixo vertical positivo = parte imaginária positiva ( +90^\circ), vertical negativa = -90^\circ.
  • Plotar \tilde V_R=80\angle 0^\circ: vetor horizontal para a direita de comprimento 80.
  • Plotar \tilde V_C=80\angle -90^\circ: vetor vertical para baixo de comprimento 80.
  • O vetor resultante \tilde V_g é a soma vetorial: ponta em (80,\,-80) no plano complexo; seu comprimento é 80\sqrt2 e sua direção é -45^\circ (linha apontando para baixo à direita formando 45^\circ abaixo do eixo real).
  • Em coordenadas complexas: \tilde V_g = 80 - j\,80 = 80(1-j) (rms).
  • A corrente fasorial é \tilde I=0{,}2\angle0^\circ, ou seja, um vetor na mesma direção de \tilde V_R (eixo real). No diagrama observa-se claramente que a corrente está 45^\circ adiantada em relação à tensão do gerador (ou a tensão do gerador atrasa a corrente em 45^\circ).

Passo 6

Defasagem entre tensão e corrente — interpretação e resposta numérica:
  • A defasagem da tensão do gerador em relação à corrente é o ângulo de \tilde V_g menos o ângulo de \tilde I:
\varphi=\angle\tilde V_g-\angle\tilde I=-45^\circ - 0^\circ=-45^\circ.
  • Interpretação em linguagem usual: a tensão do gerador atrasa a corrente em 45^\circ. Equivalentemente, a corrente antecipa (lead) a tensão em 45^\circ. O módulo da defasagem é 45^\circ.

Resposta

a) V_g^{\text{rms}}=80\sqrt{2}\\ \text{V}\approx113{,}14\\ \text{V}.
b) \displaystyle i(t)=0{,}28284\sin(120\pi t)\\ \text{A},\quad v_g(t)=160\sin\!\left(120\pi t-\tfrac{\pi}{4}\right)\\ \text{V},\quad v_C(t)=113{,}137\sin\!\left(120\pi t-\tfrac{\pi}{2}\right)\\ \text{V}.
c) Fasores (rms): \tilde I=0{,}2\angle0^\circ\\ \text{A},\quad \tilde V_R=80\angle0^\circ\\ \text{V},\quad \tilde V_C=80\angle-90^\circ\\ \text{V},\quad \tilde V_g=80\sqrt2\angle-45^\circ\\ \text{V}.
d) Defasagem: \varphi=-45^\circ. (A tensão do gerador atrasa a corrente em 45^\circ; a corrente antecipa a tensão em 45^\circ.)

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