1 - Um resistor de 100 \Omega e capacitor de 1 \mu \mathrm{~F} são ligados a uma fonte de tensão de 5 \mathrm{~V} / 1 \mathrm{KHz}. Pede-se calcular:
a) corrente no circuito
b) tensão no capacitor e na resistência
c) ângulo de defasagem

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede coisas claras:
  • Valores fornecidos:
    • Resistência: R=100\\ \Omega.
    • Capacitância: C=1\\ \mu\mathrm{F}=1\times10^{-6}\\ \mathrm{F}.
    • Fonte senoidal: amplitude V_m=5\\ \mathrm{V} e frequência f=1\\ \mathrm{kHz}=1000\\ \mathrm{Hz}.
  • O que é pedido:
    a) calcular a corrente no circuito (amplitude e fase/expressão temporal);
    b) calcular a tensão no capacitor e na resistência (amplitudes e defasagens relativas);
    c) calcular o ângulo de defasagem entre tensão da fonte e a corrente (dizer quem está adiantado/atrasado).

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicadinho):
  • Em regime senoidal permanente trabalhamos com fasores (números complexos que representam amplitude e fase). A resistência é R (número real) e o capacitor tem reatância capacitiva \,X_C, dada por
X_C=\frac{1}{2\pi f C}.
Aqui \,X_C tem dimensão de ohms e representa “resistência eficaz” do capacitor para a corrente alternada: quanto maior X_C, mais o capacitor impede a corrente.
  • Para um circuito série R em série com C a impedância total é
Z=R - jX_C,
onde j é a unidade imaginária. O módulo da impedância é
|Z|=\sqrt{R^2+X_C^2}.
  • A corrente (fasor) é \,I=\dfrac{V}{Z}. Em amplitude:
I_m=\frac{V_m}{|Z|}.
  • A tensão na resistência é V_R=I\cdot R (em fase com I). A tensão no capacitor tem magnitude V_C=I\cdot X_C e está defasada -90^\circ em relação à corrente (tensão do capacitor atrasa a corrente em 90^\circ).

Passo 3

Calcular a reatância capacitiva \,X_C com os números dados:
X_C=\frac{1}{2\pi f C}=\frac{1}{2\pi\cdot1000\cdot1\times10^{-6}}.
Fazendo a conta:
2\pi\cdot1000\cdot1\times10^{-6}=2\pi\cdot10^{-3}\approx0{,}0062831853,
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X_C\approx\frac{1}{0{,}0062831853}\approx159{,}154943\\ \Omega.
Vou arredondar para valores práticos nas próximas contas: X_C\approx159{,}155\\ \Omega.

Passo 4

Impedância total e seu módulo:
Z=R-jX_C=100 - j\,159{,}155\\ \Omega.
Módulo de Z:
|Z|=\sqrt{100^2+159{,}155^2}=\sqrt{10000+25330{,}296}\approx\sqrt{35330{,}296}\approx187{,}96\\ \Omega.
Explicação breve do que isso significa: o circuito “vê” uma impedância com módulo 187{,}96\\ \Omega; é maior que R porque o capacitor também “opõe” um certo efeito.

Passo 5

Corrente no circuito (amplitude e fasor). Usando I_m=V_m/|Z|:
I_m=\frac{5}{187{,}96}\\ \mathrm{A}\approx0{,}02660\\ \mathrm{A}=26{,}60\\ \mathrm{mA}.
Agora a fase: o ângulo da impedância é
\angle Z=\arctan\!\left(\frac{-X_C}{R}\right)=-\arctan\!\left(\frac{159{,}155}{100}\right).
Calculando o ângulo:
\angle Z\approx -57{,}9^\circ.
Como I=V/Z e tomamos a tensão da fonte como referência com fase 0^\circ (ou seja V=5\angle 0^\circ), a fase da corrente é
\angle I=\angle V-\angle Z=0^\circ-(-57{,}9^\circ)=+57{,}9^\circ.
Interpretação: a corrente está adiantada em relação à tensão da fonte em 57{,}9^\circ (isso é típico quando há capacitância dominante).
Time-domain: a corrente instantânea pode ser escrita como
i(t)=I_m\cos(2\pi f t + 57{,}9^\circ)
com I_m=26{,}60\\ \mathrm{mA}.

Passo 6

Tensões nos componentes (magnitudes e fases):
  • Tensão na resistência: V_R=I_m\cdot R=0{,}02660\cdot100=2{,}660\\ \mathrm{V}.Fase de V_R: mesma fase da corrente, ou seja \angle V_R=+57{,}9^\circ. Em fasor: V_R=2{,}660\angle57{,}9^\circ\\ \mathrm{V}.
  • Tensão no capacitor: V_C=I_m\cdot X_C=0{,}02660\cdot159{,}155\approx4{,}233\\ \mathrm{V}.Fase de V_C: atrasa 90^\circ em relação à corrente, então \angle V_C=57{,}9^\circ - 90^\circ = -32{,}1^\circ.Em fasor: V_C=4{,}233\angle -32{,}1^\circ\\ \mathrm{V}.
Verificação rápida (soma vetorial): V_R e V_C somados vetorialmente retornam a tensão da fonte 5\angle 0^\circ (a soma dos componentes real/imaginário dá aproximadamente 5 V com pequena diferença de arredondamento).

Passo 7

Ângulo de defasagem pedido:
  • A diferença de fase entre a tensão da fonte (referência 0^\circ) e a corrente é
\varphi=\angle V-\angle I=0^\circ-57{,}9^\circ=-57{,}9^\circ.
Interpretação em linguagem fácil: a corrente está adiantada em relação à tensão da fonte por 57{,}9^\circ; alternativamente diz-se que a tensão da fonte atrasa a corrente por 57{,}9^\circ.

Resposta

a) I_m=0{,}02660\\ \mathrm{A}=26{,}60\\ \mathrm{mA} (fasor I=26{,}60\angle57{,}9^\circ\\ \mathrm{mA}).
b) V_R=2{,}660\\ \mathrm{V} (em fase com I); V_C=4{,}233\\ \mathrm{V} (defasada -90^\circ em relação a I, ou fasor V_C=4{,}233\angle -32{,}1^\circ\\ \mathrm{V}).
c) Ângulo de defasagem entre tensão da fonte e corrente: \varphi=-57{,}9^\circ (corrente adiantada em relação à tensão em 57{,}9^\circ).

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