3 - Em um circuito RL paralelo, a defasagem entre tensão e corrente é 60^{\circ}. Sabendo-se que a tensão aplicada é 10 V e que a corrente consumida é 100 mA , determinar o valor da resistência e da indutância se f=1000 \mathrm{~Hz}.

Passo 1

O enunciado dá um circuito em paralelo com um resistor e uma bobina e pede os valores de resistência e indutância. Os dados fornecidos são:
  • Tensão aplicada: V = 10\\ \mathrm{V}.
  • Corrente total consumida: I = 100\\ \mathrm{mA} = 0,1\\ \mathrm{A}.
  • Defasagem entre tensão e corrente: 60^\circ (em circuito RL paralelo a corrente total fica defasada em relação à tensão).
  • Frequência: f = 1000\\ \mathrm{Hz}.
O que se pede:
  • Determinar R (resistência do ramo resistivo).
  • Determinar L (indutância da bobina, do ramo indutivo).

Passo 2

Entendendo o comportamento do circuito (ideia física e representação vetorial).
  • Em um circuito paralelo RL a tensão V está em ambos os ramos e é a referência. Tomemos a fasor da tensão com ângulo 0^\circ.
  • A corrente pelo resistor I_R está em fase com a tensão (ou seja, mesma direção angular, 0^\circ).
  • A corrente pela bobina I_L tem um atraso de 90^\circ em relação à tensão (a corrente indutiva “atrasa” a tensão), ou seja, o fasor I_L está em -90^\circ.
  • A corrente total I é a soma vetorial (fasorial) das correntes dos ramos: \mathbf{I} = \mathbf{I}_R + \mathbf{I}_L.Em coordenadas (com referência na tensão) isso fica \mathbf{I} = I_R - j I_L,porque I_R é a componente real (eixo x) e I_L é a componente imaginária negativa (eixo -y).
  • O módulo da corrente total é I = \sqrt{I_R^{2} + I_L^{2}}.
  • A defasagem (em módulo) entre tensão e corrente é dada por \varphi = \arctan\!\left(\frac{I_L}{I_R}\right).Como aqui temos circuito RL (indutivo), a corrente total atrasa a tensão; então \varphi = 60^\circ significa \tan(60^\circ)=I_L/I_R.

Passo 3

Relacionamentos úteis e variáveis:
  • Definir:
    • I_R = corrente no resistor,
    • I_L = corrente na indutância (módulo),
    • X_L = 2\pi f L é a reatância indutiva (em \Omega).
  • Correntes em módulo em função de V, R e X_L: I_R = \frac{V}{R},\qquad I_L = \frac{V}{X_L}.
  • Relação de defasagem (usando \varphi=60^\circ): \tan(60^\circ)=\sqrt{3}=\frac{I_L}{I_R}.
  • Relação entre componente em fase e corrente total (projeção): I_R = I\cos\varphi,\qquad I_L = I\sin\varphi.Essas fórmulas vêm da decomposição vetorial do vetor corrente I em componentes real (em fase) e imaginária (quadratura).

Passo 4

Calcular I_R usando I_R = I\cos\varphi com \varphi=60^\circ:
I_R = I\cos(60^\circ) = 0,1\cdot\cos(60^\circ) = 0,1\cdot 0,5 = 0,05\\ \mathrm{A}.
Explicação curta: a componente em fase é a projeção da corrente total no eixo da tensão; com 60^\circ essa projeção vale I\cos60^\circ.

Passo 5

Determinar a resistência R a partir de I_R = V/R:
R = \frac{V}{I_R} = \frac{10}{0,05} = 200\\ \Omega.

Passo 6

Calcular I_L usando I_L = I\sin\varphi:
I_L = 0,1\cdot\sin(60^\circ) = 0,1\cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 0,1\cdot 0,8660254\approx 0,0866025\\ \mathrm{A}.

Passo 7

Determinar a reatância indutiva X_L a partir de I_L = V/X_L:
X_L = \frac{V}{I_L} = \frac{10}{0,0866025}\approx 115{,}470\\ \Omega.

Passo 8

Relacionar X_L com L e calcular L:
X_L = 2\pi f L \quad\Rightarrow\quad L = \frac{X_L}{2\pi f}.
Substituindo X_L e f=1000\\ \mathrm{Hz}:
L \approx \frac{115{,}470}{2\pi\cdot 1000} = \frac{115{,}470}{6283{,}185} \approx 0,01838\\ \mathrm{H}.
Em mili-henry:
L \approx 18{,}38\\ \mathrm{mH}.

Passo 9

Verificação rápida (auto-checagem):
  • I_R=0,05\\ \mathrm{A} e I_L\approx0,0866\\ \mathrm{A}.
  • Módulo da corrente total: \sqrt{0{,}05^2+0{,}0866025^2}=\sqrt{0{,}0025+0{,}0075}= \sqrt{0{,}01}=0{,}1\\ \mathrm{A}, ok.
  • Ângulo: \arctan(I_L/I_R)=\arctan(0{,}0866025/0{,}05)=\arctan(\sqrt{3})=60^\circ, ok.

Resposta

R = 200\\ \Omega
L = 0,01838\\ \mathrm{H}\approx 18{,}38\\ \mathrm{mH}

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