1. Um circuito R L C em série é tormado por um resitor de resistëncia R=75 \Omega, um indutor com indutância L=10 \mathrm{mH} e um capacitor de capacitância C=0,20 \mu \mathrm{~F}. A carga inicial armazenada no capacitor é igual a q_{0}=0,4 \mathrm{mC} e a corrente é nula. Determine:
b) Classifique o tipo de oscilações desse circuito;

Passo 1

O enunciado pede que se classifique o tipo de oscilações do circuito RLC em série (item b). As informações fornecidas (peguei estes valores da imagem enviada) são:
  • Resistência: R=75\\ \Omega.
  • Indutância: L=10\\ \mathrm{mH}.
  • Capacitância: C=0,20\\ \mu\mathrm{F}.
  • Condições iniciais (fornecidas): carga inicial no capacitor q_0=0,4\\ \mathrm{mC} e corrente inicial nula.
    O que se pergunta aqui é apenas a classificação do regime (se é subamortecido / subcrítico, criticamente amortecido, ou sobreamortecido / supercrítico).

Passo 2

Vamos escrever a equação que descreve o circuito e explicar cada termo. Pelo segundo de Kirchhoff (soma das quedas de tensão = 0) temos, usando q(t) como a carga do capacitor:
L\ddot{q}(t)+R\dot{q}(t)+\frac{1}{C}q(t)=0.
Explicando cada termo:
  • \ddot{q}(t) é a derivada segunda da carga (relacionada à derivada da corrente);
  • L\ddot{q} é a tensão no indutor ( L\,d i/dt, lembrando que i=\dot{q});
  • R\dot{q} é a tensão no resistor ( R i);
  • \dfrac{1}{C}q é a tensão no capacitor ( q/C).
    Dividindo por L obtemos a forma padrão:
\ddot{q}(t)+\frac{R}{L}\dot{q}(t)+\frac{1}{LC}q(t)=0.
É útil reescrever na forma padrão
\ddot{q}(t)+2\alpha\dot{q}(t)+\omega_0^2 q(t)=0,
onde definimos:
  • 2\alpha=\dfrac{R}{L}, ou seja \alpha=\dfrac{R}{2L} (constante de amortecimento);
  • \omega_0=\dfrac{1}{\sqrt{LC}} (frequência angular natural do circuito sem amortecimento).

Passo 3

Agora vamos calcular \alpha. Primeiro converter as unidades para SI (peguei os valores de L e C da imagem):
L=10\\ \mathrm{mH}=10\times10^{-3}=0,01\\ \mathrm{H}, \qquad C=0,20\\ \mu\mathrm{F}=0,20\times10^{-6}=2{,}0\times10^{-7}\\ \mathrm{F}.
Calculando \alpha:
\alpha=\frac{R}{2L}=\frac{75}{2\cdot0,01}=\frac{75}{0,02}=3750\\ \mathrm{s}^{-1}.

Passo 4

Agora calculamos a frequência angular natural \omega_0:
\omega_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}.
Primeiro LC:
LC=0,01\cdot 2{,}0\times10^{-7}=2{,}0\times10^{-9}.
A raiz:
\sqrt{LC}=\sqrt{2{,}0\times10^{-9}}=4{,}4721\times10^{-5}\\ \mathrm{s}.
Portanto
\omega_0=\frac{1}{4{,}4721\times10^{-5}}\approx 2{,}2361\times10^{4}\\ \mathrm{s}^{-1}.

Passo 5

Comparando os valores:
\alpha=3750\\ \mathrm{s}^{-1},\qquad \omega_0\approx 2{,}2361\times10^{4}\\ \mathrm{s}^{-1}.
Observa-se que \alpha<\omega_0. Na teoria dos osciladores amortecidos isso significa que o sistema é subamortecido (regime oscilatório amortecido): a solução para q(t) tem a forma de uma senoide com amplitude decaindo exponencialmente:
q(t)=Q\,e^{-\alpha t}\cos\!\big(\omega_d t+\varphi\big),
onde \omega_d=\sqrt{\omega_0^2-\alpha^2} é a frequência angular amortecida. (Se \alpha=\omega_0 seria amortecimento crítico; se \alpha>\omega_0 seria sobreamortecido, sem oscilações.)

Passo 6

Para reforçar numericamente, a frequência angular amortecida vale aproximadamente:
\omega_d=\sqrt{\omega_0^2-\alpha^2}\approx\sqrt{(2{,}2361\times10^{4})^2-(3750)^2}\approx 2{,}2044\times10^{4}\\ \mathrm{s}^{-1},
o que confirma que ainda há oscilação (frequência real) mas com amortecimento exponencial comandado por \alpha.

Resposta

Subamortecido (oscilações amortecidas)

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