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(1) Dois capacitores, quando associados, constituem capacitâncias equivalentes iguais a 10 \mu \mathrm{~F} ou 2,4 \mu \mathrm{~F}. As capacitâncias, em \mu \mathrm{F}, desses capacitores valem?

Passo 1

O enunciado dá duas informações sobre a associação de dois capacitores e pede as capacitâncias dos capacitores (em \mu\mathrm{F}). Informações fornecidas:
  • A associação em paralelo tem capacitância equivalente \,10\\ \mu\mathrm{F}.
  • A associação em série tem capacitância equivalente \,2,4\\ \mu\mathrm{F}.
O que precisamos encontrar: os valores de \,C_1 e \,C_2 (em \mu\mathrm{F}) tais que as duas condições acima sejam satisfeitas.

Passo 2

Definições e fórmulas que vou usar (explicadas de forma simples):
  • Se dois capacitores de capacitâncias \,C_1 e \,C_2 estão em paralelo, a capacitância equivalente \,C_p é a soma:
C_p = C_1 + C_2.
Aqui \,C_1 e \,C_2 são os valores que procuramos; C_p é o valor equivalente medido quando os ligamos em paralelo.
  • Se os mesmos dois capacitores estão em série, a capacitância equivalente \,C_s satisfaz:
\frac{1}{C_s} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2}.
A partir dessa igualdade pode-se obter fórmulas alternativas; multiplicando os dois lados por C_1 C_2 C_s e isolando C_s obtém-se a forma prática:
C_s = \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2}.
Expliquei o porquê: em série a carga é a mesma e as tensões somam, levando à recíproca das capacitâncias se somarem.

Passo 3

Aplicando as informações do enunciado nas fórmulas:
  • Pela associação em paralelo:
C_1 + C_2 = 10.
  • Pela associação em série (usando \,C_s=\dfrac{C_1 C_2}{C_1+C_2} e substituindo C_s=2,4 e C_1+C_2=10):
\frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2} = 2,4.
Todas as unidades estão em \mu\mathrm{F}, então posso trabalhar com os números sem converter unidades.

Passo 4

Simplificar o sistema usando C_1+C_2=10. Da segunda equação:
\frac{C_1 C_2}{10} = 2,4
multiplicando ambos os lados por 10:
C_1 C_2 = 24.
Agora temos o sistema simples:
\begin{cases} C_1 + C_2 = 10,\\[4pt] C_1 C_2 = 24. \end{cases}]

Passo 5

Resolver o sistema transformando em uma equação quadrática. Posso definir C_1 = x; então C_2 = 10 - x. Substituindo no produto:
x(10 - x) = 24.
Expandindo e rearranjando:
x^2 - 10x + 24 = 0.
Esta é uma equação quadrática padrão ax^2+bx+c=0 com a=1, b=-10, c=24.

Passo 6

Resolver a quadrática usando o discriminante. O discriminante é
\Delta = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4\cdot 1 \cdot 24 = 100 - 96 = 4.
Como \Delta = 4, as raízes são
x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{10 \pm 2}{2}.
Portanto as soluções são
x_1 = \frac{10 + 2}{2} = 6,\qquad x_2 = \frac{10 - 2}{2} = 4.

Passo 7

Interpretando as soluções: como x=C_1, temos \,C_1=6\\ \mu\mathrm{F} e \,C_2=4\\ \mu\mathrm{F}. A ordem entre C_1 e C_2 é irrelevante — os dois valores são 6 e 4 \mu\mathrm{F}.

Passo 8

Verificação rápida (sempre bom checar na prova):
  • Paralelo: 6 + 4 = 10\\ \mu\mathrm{F} — confere.
  • Série: \dfrac{6\cdot 4}{6+4}=\dfrac{24}{10}=2,4\\ \mu\mathrm{F} — confere.

Resposta

4\\ \mu\mathrm{F} e 6\\ \mu\mathrm{F}

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