(2,0 pontos)
(1) Dois capacitores, quando associados, constituem capacitâncias equivalentes iguais a
ou
. As capacitâncias, em
, desses capacitores valem?
(1) Dois capacitores, quando associados, constituem capacitâncias equivalentes iguais a
Passo 1
O enunciado dá duas informações sobre a associação de dois capacitores e pede as capacitâncias dos capacitores (em
). Informações fornecidas:
- A associação em paralelo tem capacitância equivalente
- A associação em série tem capacitância equivalente
O que precisamos encontrar: os valores de
e
(em
) tais que as duas condições acima sejam satisfeitas.
Passo 2
Definições e fórmulas que vou usar (explicadas de forma simples):
- Se dois capacitores de capacitâncias
e estão em paralelo, a capacitância equivalente é a soma:
Aqui
e
são os valores que procuramos;
é o valor equivalente medido quando os ligamos em paralelo.
- Se os mesmos dois capacitores estão em série, a capacitância equivalente
satisfaz:
A partir dessa igualdade pode-se obter fórmulas alternativas; multiplicando os dois lados por
e isolando
obtém-se a forma prática:
Expliquei o porquê: em série a carga é a mesma e as tensões somam, levando à recíproca das capacitâncias se somarem.
Passo 3
Aplicando as informações do enunciado nas fórmulas:
- Pela associação em paralelo:
- Pela associação em série (usando
e substituindo e ):
Todas as unidades estão em
, então posso trabalhar com os números sem converter unidades.
Passo 4
Simplificar o sistema usando
. Da segunda equação:
multiplicando ambos os lados por
:
Agora temos o sistema simples:
Passo 5
Resolver o sistema transformando em uma equação quadrática. Posso definir
; então
. Substituindo no produto:
Expandindo e rearranjando:
Esta é uma equação quadrática padrão
com
,
,
.
Passo 6
Resolver a quadrática usando o discriminante. O discriminante é
Como
, as raízes são
Portanto as soluções são
Passo 7
Interpretando as soluções: como
, temos
e
. A ordem entre
e
é irrelevante — os dois valores são 6 e 4
.
Passo 8
Verificação rápida (sempre bom checar na prova):
- Paralelo:
— confere. - Série:
— confere.