(1,0 ponto)
2) Um capacitor plano no vácuo tem capacitância C. Ligado a uma bateria, ele adquire carga igual a Q . Diminuimos de 60 \% a distância entre as suas placas, mantendo o vácuo, e ligamo-lo ao mesmo gerador. a) Qual é a sua nova capacitância? b) Qual é a sua nova carga?

Passo 1

O enunciado dá um capacitor plano no vácuo com capacitância inicial C. Ligado a uma bateria, ele adquire carga Q. Depois reduz-se a distância entre as placas em 60\% (ou seja, a distância fica 60\% menor) mantendo o vácuo, e o capacitor é ligado ao mesmo gerador (mesma tensão). O que o problema pede:
  • (a) a nova capacitância do capacitor após a redução da distância;
  • (b) a nova carga no capacitor quando ligado ao mesmo gerador.
Informações relevantes que vamos usar (extras que estão implícitas no enunciado):
  • O capacitor é do tipo plano e a área das placas A não muda.
  • O meio continua sendo vácuo (permissividade \varepsilon_0).
  • A bateria mantém a mesma diferença de potencial V entre as placas enquanto o capacitor estiver ligado.

Passo 2

Fórmula básica do capacitor plano no vácuo: para um capacitor de placas paralelas,
C=\varepsilon_0\frac{A}{d},
onde:
  • \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo (constante),
  • A é a área das placas,
  • d é a separação entre as placas.
Explicação simples: a capacitância mede a capacidade de armazenar carga por unidade de diferença de potencial; para placas paralelas ela é inversamente proporcional à distância d entre as placas (quanto menor d, maior C).

Passo 3

Expressar a redução de 60\% da distância. Se a distância inicial é d, reduzir em 60\% significa que a nova distância d' é
d'=(1-0{,}60)\,d=0{,}40\,d.
Isso significa que as placas ficaram a 40\% da distância original.

Passo 4

Calcular a nova capacitância C' usando a fórmula do passo 2 com d':
C'=\varepsilon_0\frac{A}{d'}=\varepsilon_0\frac{A}{0{,}40\,d}=\frac{1}{0{,}40}\,\varepsilon_0\frac{A}{d}.
Como \varepsilon_0\frac{A}{d}=C, segue
C'=\frac{1}{0{,}40}\,C=2{,}5\,C=\frac{5}{2}\,C.
Portanto, a capacitância aumenta por um fator 2{,}5 (ou 5/2).

Passo 5

Relação carga–capacitância–tensão: quando o capacitor está ligado à bateria, vale
Q=C\,V,
onde V é a tensão fornecida pela bateria. Como a bateria é a mesma e permanece conectada, a tensão V permanece constante antes e depois da mudança. Assim a nova carga Q' é
Q'=C'\,V.
Usando Q=C V e isolando V=Q/C, podemos escrever
Q'=C'\left(\frac{Q}{C}\right)=\frac{C'}{C}\,Q.
Substituindo C'/C=2{,}5 obtém-se
Q'=2{,}5\,Q=\frac{5}{2}\,Q.

Passo 6

Interpretação rápida e checagem: reduzir a distância entre as placas aumenta a capacitância (porque C\propto1/d); se a tensão é mantida fixa pela bateria, aumentar C faz aumentar a carga armazenada, pelo mesmo fator. Os resultados obtidos são consistentes com essa ideia física.

Resposta

(a) C'=\dfrac{5}{2}\,C
(b) Q'=\dfrac{5}{2}\,Q

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