Um circuito de uma única malha é formado por um resistor de 
 , um indutor de 
  e um capacitor de 
 . Inicialmente, o capacitor possui uma carga de 
  e a corrente é zero. Calcule a carga do capacitor após 
  ciclos completos para:
(a) 
 
(a)
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo! Temos um circuito com três componentes: um resistor de 
 , um indutor de 
  e um capacitor de 
 . Inicialmente, o capacitor tem uma carga de 
  e a corrente está zero. A pergunta quer saber qual será a carga do capacitor após 
  ciclos completos.
Vamos precisar usar conceitos de circuitos RLC (Resistor-Indutor-Capacitor), especialmente sobre oscilações no circuito e como a resistência afeta essas oscilações ao longo do tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os parâmetros do circuito:
- Resistência, 
 - Indutância, 
 - Capacitância, 
 
Sabemos que a resistência 
  causa um amortecimento nas oscilações do circuito, fazendo com que a amplitude das oscilações diminua com o tempo. Isso é chamado de amortecimento crítico ou subamortecido, dependendo dos valores de 
 , 
  e 
 .
Passo 3
Precisamos calcular a frequência angular amortecida 
  e a taxa de amortecimento 
 .
A taxa de amortecimento é dada por:
Substituindo os valores:
Agora, calculamos a frequência natural 
 :
Substituindo os valores:
A frequência angular amortecida é:
Substituindo os valores:
Como 
  é muito pequeno comparado a 
 , 
 .
Passo 4
A carga no capacitor ao longo do tempo é dada por:
Onde:
- 
 - 
é a fase inicial. Como a corrente inicial é zero e a carga máxima está no início, .  
Então:
Passo 5
Queremos encontrar a carga após 
  ciclos completos. Primeiro, precisamos determinar o período 
  de um ciclo:
O tempo total para 
  ciclos é:
Passo 6
Agora, substituímos 
  na expressão da carga:
Calculando o exponencial:
Calculando o cosseno:
Resposta
Após 
  ciclos completos, a carga no capacitor é aproximadamente: