O objetivo concreto: transformar o sistema por operações elementares de linha até obter uma forma simples, determinar o posto da matriz de coeficientes e do sistema aumentado, e escrever a solução (se existir) em forma paramétrica.]
Passo 2
Passo inicial: escrever a matriz aumentada e lembrar as operações que posso usar.
Operações elementares permitidas (explicação rápida): trocar duas linhas, multiplicar uma linha por um escalar diferente de zero e somar a uma linha um múltiplo de outra. Essas operações não mudam o conjunto de soluções do sistema.
Vou aplicar eliminação de Gauss: usar a primeira linha como pivô para zerar as entradas abaixo do primeiro pivô (coluna de w).]
Passo 3
Zerar entradas abaixo do pivô da primeira coluna (w).
Organizar pivôs e eliminar acima dos pivôs (continuar para forma escalonada reduzida).
É conveniente que os pivôs apareçam em ordem descendente de colunas; portanto permuto R_3 e R_4 (ou simplesmente considerar R_4 como a próxima linha não nula). Assim temos pivôs em colunas w (linha 1), x (linha 2) e y (linha 4/3 depois da permutação).
Usarei a linha com pivô em y, isto é R_4=[0\\\ 0\\\ 1\\\ -1\mid -13], para zerar as entradas de y nas linhas acima:
Operações:
R_1 \leftarrow R_1 + R_4 (porque R_1 tem coeficiente -1 em y),
R_2 \leftarrow R_2 - 3R_4 (porque R_2 tem coeficiente 3 em y).
Portanto z é uma variável livre (não há pivô na coluna de z), escolhemos z=t, com t\in\mathbb{R}. Então y=t-13.
Resumo das incógnitas:
w=4,\qquad x=-8,\qquad y = t-13,\qquad z=t,\qquad t\in\mathbb{R}.
Passo 7
Interpretação em termos de posto, compatibilidade e forma vetorial.
Posto da matriz de coeficientes A: número de pivôs não nulos encontrado = 3 (w,x,y têm pivôs).
Posto da matriz aumentada [A|b]: também 3 (a linha nula corresponde a 0=0, não aparece contradição).
Como \operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}([A|b])=3 e o número de incógnitas é 4, o sistema é compatível indeterminado: existe infinidade de soluções, com 4-3=1 parâmetro livre.