Escalone e discuta:
\left\{\begin{array}{l} w+2 x-y+z=1 \\ 2 w-x+y-z=3 \\ 4 w+3 x-y+z=5 \\ 3 w-2 x+2 y-2 z=2 \end{array}\right.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos de dado.
  • Pede-se escalonar o sistema e discuti‑lo (ou seja: achar a forma escalonada reduzida, verificar se é compatível e descrever o conjunto solução).
  • Sistema fornecido (peguei as equações do enunciado):
\begin{cases} w+2x-y+z=1,\\[4pt] 2w-x+y-z=3,\\[4pt] 4w+3x-y+z=5,\\[4pt] 3w-2x+2y-2z=2. \end{cases}
  • Variáveis: w,x,y,z.
  • O objetivo concreto: transformar o sistema por operações elementares de linha até obter uma forma simples, determinar o posto da matriz de coeficientes e do sistema aumentado, e escrever a solução (se existir) em forma paramétrica.]

Passo 2

Passo inicial: escrever a matriz aumentada e lembrar as operações que posso usar.
  • A matriz aumentada do sistema é
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 2 & -1 & 1 & 1\\[4pt] 2 & -1 & 1 & -1 & 3\\[4pt] 4 & 3 & -1 & 1 & 5\\[4pt] 3 & -2 & 2 & -2 & 2 \end{array}\right].
  • Operações elementares permitidas (explicação rápida): trocar duas linhas, multiplicar uma linha por um escalar diferente de zero e somar a uma linha um múltiplo de outra. Essas operações não mudam o conjunto de soluções do sistema.
  • Vou aplicar eliminação de Gauss: usar a primeira linha como pivô para zerar as entradas abaixo do primeiro pivô (coluna de w).]

Passo 3

Zerar entradas abaixo do pivô da primeira coluna ( w).
Faço as operações:
  • R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1,
  • R_3 \leftarrow R_3 - 4R_1,
  • R_4 \leftarrow R_4 - 3R_1.
Cálculo linha a linha:
Para R_2 - 2R_1:
\begin{array}{rrrrr} 2-2\cdot1 &=& 0,\\\\ -1-2\cdot2 &=& -5,\\\\ 1-2\cdot(-1) &=& 3,\\\\ -1-2\cdot1 &=& -3,\\\\ 3-2\cdot1 &=& 1. \end{array}
Logo R_2=[0\\\ -5\\\ 3\\\ -3\mid 1].
Para R_3 - 4R_1:
\begin{array}{rrrrr} 4-4\cdot1 &=&0,\\\\ 3-4\cdot2 &=& -5,\\\\ -1-4\cdot(-1) &=& 3,\\\\ 1-4\cdot1 &=& -3,\\\\ 5-4\cdot1 &=&1. \end{array}
Logo R_3=[0\\\ -5\\\ 3\\\ -3\mid 1] (observação: igual a R_2).
Para R_4 - 3R_1:
\begin{array}{rrrrr} 3-3\cdot1 &=&0,\\\\ -2-3\cdot2 &=& -8,\\\\ 2-3\cdot(-1) &=& 5,\\\\ -2-3\cdot1 &=& -5,\\\\ 2-3\cdot1 &=& -1. \end{array}
Logo R_4=[0\\\ -8\\\ 5\\\ -5\mid -1].
A matriz fica agora:
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 2 & -1 & 1 & 1\\[4pt] 0 & -5 & 3 & -3 & 1\\[4pt] 0 & -5 & 3 & -3 & 1\\[4pt] 0 & -8 & 5 & -5 & -1 \end{array}\right].]

Passo 4

Eliminar a linha redundante e simplificar a linha 4 usando combinações.
  • Vejo que R_3 é idêntica a R_2. Faço R_3 \leftarrow R_3 - R_2 para obter uma linha nula:
R_3=[0\\\ 0\\\ 0\\\ 0\mid 0].
  • Para eliminar a componente de x em R_4 usando R_2 (pivot em x é -5), posso fazer
R_4 \leftarrow R_4 - \tfrac{8}{5}R_2.
Faço as contas explícitas (mostrando frações):
\begin{array}{rcl} \text{col}_3: & 5 - \tfrac{8}{5}\cdot 3 &=& 5 - \tfrac{24}{5} = \tfrac{25-24}{5}=\tfrac{1}{5},\\[4pt] \text{col}_4: & -5 - \tfrac{8}{5}\cdot(-3) &=& -5 + \tfrac{24}{5} = \tfrac{-25+24}{5}=\tfrac{-1}{5},\\[4pt] \text{RHS:} & -1 - \tfrac{8}{5}\cdot 1 &=& -1 - \tfrac{8}{5} = \tfrac{-5-8}{5}=\tfrac{-13}{5}. \end{array}
Portanto R_4=[0\\\ 0\\ \tfrac{1}{5}\\\ -\tfrac{1}{5}\mid -\tfrac{13}{5}].
  • Para ficar com inteiros, multiplico essa linha por 5 (operação permitida): R_4 \leftarrow 5R_4, obtendo
R_4=[0\\\ 0\\\ 1\\\ -1\mid -13].
A matriz agora é
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 2 & -1 & 1 & 1\\[4pt] 0 & -5 & 3 & -3 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 & -1 & -13 \end{array}\right].]

Passo 5

Organizar pivôs e eliminar acima dos pivôs (continuar para forma escalonada reduzida).
  • É conveniente que os pivôs apareçam em ordem descendente de colunas; portanto permuto R_3 e R_4 (ou simplesmente considerar R_4 como a próxima linha não nula). Assim temos pivôs em colunas w (linha 1), x (linha 2) e y (linha 4/3 depois da permutação).
  • Usarei a linha com pivô em y, isto é R_4=[0\\\ 0\\\ 1\\\ -1\mid -13], para zerar as entradas de y nas linhas acima:
Operações:
  • R_1 \leftarrow R_1 + R_4 (porque R_1 tem coeficiente -1 em y),
  • R_2 \leftarrow R_2 - 3R_4 (porque R_2 tem coeficiente 3 em y).
Cálculos:
Para R_1 + R_4:
\begin{array}{rcl} w: & 1+0 &=& 1,\\\ x: & 2+0 &=& 2,\\\ y: & -1+1 &=& 0,\\\ z: & 1+(-1) &=& 0,\\\ \text{RHS:} & 1+(-13) &=& -12. \end{array}
Logo R_1=[1\\\ 2\\\ 0\\\ 0\mid -12].
Para R_2 - 3R_4:
\begin{array}{rcl} w: & 0-3\cdot0 &=& 0,\\\ x: & -5-3\cdot0 &=& -5,\\\ y: & 3-3\cdot1 &=& 0,\\\ z: & -3-3\cdot(-1) &=& -3+3=0,\\\ \text{RHS:} & 1-3\cdot(-13) &=& 1+39=40. \end{array}
Logo R_2=[0\\\ -5\\\ 0\\\ 0\mid 40].
A matriz fica:
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 2 & 0 & 0 & -12\\[4pt] 0 & -5 & 0 & 0 & 40\\[4pt] 0 & 0 & 1 & -1 & -13\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right].]

Passo 6

Obter as soluções explícitas a partir da forma escalonada.
  • Normalizo a segunda linha dividindo por -5: R_2 \leftarrow \dfrac{1}{-5}R_2, resultando
R_2=[0\\\ 1\\\ 0\\\ 0\mid -8].
Isto dá imediatamente x=-8.
  • Uso R_2 para zerar a entrada de x em R_1: R_1 \leftarrow R_1 - 2R_2.
    Cálculo:
w: 1 - 2\cdot0 =1,\qquad x: 2 - 2\cdot1 =0,\qquad \text{RHS: } -12 - 2\cdot(-8) = -12 +16 =4.
Logo R_1=[1\\\ 0\\\ 0\\\ 0\mid 4] dando w=4.
  • A terceira linha é y - z = -13, ou seja
y = z - 13.
Portanto z é uma variável livre (não há pivô na coluna de z), escolhemos z=t, com t\in\mathbb{R}. Então y=t-13.
  • Resumo das incógnitas:
w=4,\qquad x=-8,\qquad y = t-13,\qquad z=t,\qquad t\in\mathbb{R}.

Passo 7

Interpretação em termos de posto, compatibilidade e forma vetorial.
  • Posto da matriz de coeficientes A: número de pivôs não nulos encontrado = 3 ( w,x,y têm pivôs).
  • Posto da matriz aumentada [A|b]: também 3 (a linha nula corresponde a 0=0, não aparece contradição).
  • Como \operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}([A|b])=3 e o número de incógnitas é 4, o sistema é compatível indeterminado: existe infinidade de soluções, com 4-3=1 parâmetro livre.
  • Forma vetorial da solução (escrevendo t=z):
\left(\begin{array}{c}w\\[2pt]x\\[2pt]y\\[2pt]z\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}4\\[2pt]-8\\[2pt]-13\\[2pt]0\end{array}\right) + t\left(\begin{array}{c}0\\[2pt]0\\[2pt]1\\[2pt]1\end{array}\right),\qquad t\in\mathbb{R}.]

Passo 8

Verificação rápida (controle de erro).
  • Tomando t=0 obtemos (w,x,y,z)=(4,-8,-13,0). Substituindo na primeira equação:
4 + 2(-8) - (-13) + 0 = 4 -16 +13 =1,
confere. As demais equações também conferem (pode checar se quiser). Isso dá confiança que a eliminação foi correta.

Resposta

\displaystyle (w,x,y,z)=(4,-8,t-13,t),\; t\in\mathbb{R}.

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