Circulação e Fluxo. Encontre a circulação e o fluxo dos campos overrightarrow{F_{1}}=x \vec{\imath}+y \vec{\jmath} e overrightarrow{F_{2}}=-y \vec{\imath}+x \vec{\jmath} ao redor e através de cada uma das curvas a seguir
A elipse \vec{r}(t)=(\cos t) \vec{\imath}+(4 \operatorname{sen} t) \vec{\jmath}, 0 \leq t \leq 2 \pi
Passo 1
O enunciado dá a curva elíptica parametrizada e pede duas coisas para cada campo vetorial: a circulação ao redor da curva e o fluxo através da curva. Informações relevantes fornecidas:
a circulação ao redor da elipse (isto é \displaystyle\oint_{C}\overrightarrow{F}\cdot d\vec{r}), e
o fluxo através da elipse (isto é o fluxo de \overrightarrow{F} através da curva fechada, assumindo a orientação natural dada pela parametrização).
Observação útil já aqui: a parametrização dada (para t aumentando de 0 a 2\pi) descreve a elipse no sentido anti-horário (orientação positiva).
Passo 2
Como vamos calcular essas quantidades sem complicação, vou usar dois teoremas práticos (vou explicar o que cada símbolo significa):
Para um campo \overrightarrow{F}=(P(x,y),Q(x,y)) e uma curva fechada C que seja fronteira positiva de uma região D,
a circulação é dada por Green:\oint_{C}P\,dx+Q\,dy=\iint_{D}\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\,dA.Aqui \frac{\partial Q}{\partial x} é a derivada parcial de Q em relação a x (mantendo y fixo) e \frac{\partial P}{\partial y} é a derivada parcial de P em relação a y.
O fluxo (fluxo de saída normal, com a orientação positiva da fronteira) pode ser obtido pelo teorema da divergência planar (ou outra forma de Green):\oint_{C}\overrightarrow{F}\cdot\mathbf{n}\,ds=\iint_{D}\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}\right)\,dA,onde \operatorname{div}\overrightarrow{F}=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y} é a divergência do campo.
Explicando em palavras: para circulação usamos a diferença das derivadas parciais (\partial Q/\partial x-\partial P/\partial y), e para fluxo usamos a soma (\partial P/\partial x+\partial Q/\partial y); em ambos os casos trocamos uma integral de linha complicada por uma integral dupla sobre a região D interior à elipse — geralmente bem mais simples.
Passo 3
Identificamos a região D limitada pela elipse. A equação cartesiana da elipse, obtida da parametrização (x,y)=(\cos t,4\sin t), é