Circulação e Fluxo. Encontre a circulação e o fluxo dos campos overrightarrow{F_{1}}=x \vec{\imath}+y \vec{\jmath} e overrightarrow{F_{2}}=-y \vec{\imath}+x \vec{\jmath} ao redor e através de cada uma das curvas a seguir
A elipse \vec{r}(t)=(\cos t) \vec{\imath}+(4 \operatorname{sen} t) \vec{\jmath}, 0 \leq t \leq 2 \pi

Passo 1

O enunciado dá a curva elíptica parametrizada e pede duas coisas para cada campo vetorial: a circulação ao redor da curva e o fluxo através da curva. Informações relevantes fornecidas:
\vec{r}(t)=(\cos t)\,\vec{\imath}+(4\sin t)\,\vec{\jmath},\qquad 0\le t\le 2\pi.
Os campos são
\overrightarrow{F_{1}}=x\,\vec{\imath}+y\,\vec{\jmath}
e
\overrightarrow{F_{2}}=-y\,\vec{\imath}+x\,\vec{\jmath}.
Perguntas explicitas: para cada campo, encontrar
  1. a circulação ao redor da elipse (isto é \displaystyle\oint_{C}\overrightarrow{F}\cdot d\vec{r}), e
  2. o fluxo através da elipse (isto é o fluxo de \overrightarrow{F} através da curva fechada, assumindo a orientação natural dada pela parametrização).
    Observação útil já aqui: a parametrização dada (para t aumentando de 0 a 2\pi) descreve a elipse no sentido anti-horário (orientação positiva).

Passo 2

Como vamos calcular essas quantidades sem complicação, vou usar dois teoremas práticos (vou explicar o que cada símbolo significa):
  • Para um campo \overrightarrow{F}=(P(x,y),Q(x,y)) e uma curva fechada C que seja fronteira positiva de uma região D,
    a circulação é dada por Green: \oint_{C}P\,dx+Q\,dy=\iint_{D}\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\,dA.Aqui \frac{\partial Q}{\partial x} é a derivada parcial de Q em relação a x (mantendo y fixo) e \frac{\partial P}{\partial y} é a derivada parcial de P em relação a y.
  • O fluxo (fluxo de saída normal, com a orientação positiva da fronteira) pode ser obtido pelo teorema da divergência planar (ou outra forma de Green): \oint_{C}\overrightarrow{F}\cdot\mathbf{n}\,ds=\iint_{D}\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}\right)\,dA,onde \operatorname{div}\overrightarrow{F}=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y} é a divergência do campo.
    Explicando em palavras: para circulação usamos a diferença das derivadas parciais ( \partial Q/\partial x-\partial P/\partial y), e para fluxo usamos a soma ( \partial P/\partial x+\partial Q/\partial y); em ambos os casos trocamos uma integral de linha complicada por uma integral dupla sobre a região D interior à elipse — geralmente bem mais simples.

Passo 3

Identificamos a região D limitada pela elipse. A equação cartesiana da elipse, obtida da parametrização (x,y)=(\cos t,4\sin t), é
\frac{x^{2}}{1^{2}}+\frac{y^{2}}{4^{2}}=x^{2}+\frac{y^{2}}{16}=1.
Essa é uma elipse com semi-eixo maior b=4 na direção y e semi-eixo a=1 na direção x. A área de D é a conhecida fórmula
\text{Area}(D)=\pi a b=\pi\cdot 1\cdot 4=4\pi.
(se preferir ver por mudança de variável: tome u=x, v=y/4; o disco unitário em (u,v) tem área \pi e o jacobiano é |J|=4, daí área 4\pi.)

Passo 4

Agora aplicamos os cálculos aos campos, começando por \overrightarrow{F_{1}}=(P,Q)=(x,y).
Calcule as derivadas parciais necessárias:
\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial y}{\partial x}=0,\qquad \frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial x}{\partial y}=0,
logo para a circulação (usa-se \partial Q/\partial x-\partial P/\partial y):
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=0-0=0.
Pelo teorema:
\oint_{C}\overrightarrow{F_{1}}\cdot d\vec{r}=\iint_{D}0\,dA=0.
Para o fluxo, calcule a divergência:
\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}=\frac{\partial x}{\partial x}+\frac{\partial y}{\partial y}=1+1=2.
Logo:
\text{fluxo de }\overrightarrow{F_{1}}=\iint_{D}2\,dA=2\cdot\text{Area}(D)=2\cdot 4\pi=8\pi.

Passo 5

Agora para \overrightarrow{F_{2}}=(P,Q)=(-y,x).
Calcule as parciais:
\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial x}{\partial x}=1,\qquad \frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial(-y)}{\partial y}=-1.
Então a quantidade para circulação é
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=1-(-1)=2.
Aplicando Green:
\oint_{C}\overrightarrow{F_{2}}\cdot d\vec{r}=\iint_{D}2\,dA=2\cdot\text{Area}(D)=2\cdot 4\pi=8\pi.
Para o fluxo, calcule a divergência:
\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}=\frac{\partial(-y)}{\partial x}+\frac{\partial x}{\partial y}=0+0=0.
Portanto
\text{fluxo de }\overrightarrow{F_{2}}=\iint_{D}0\,dA=0.

Resposta

Para \overrightarrow{F_{1}}=x\vec{\imath}+y\vec{\jmath}: circulação =0 \
fluxo =8\pi
Para \overrightarrow{F_{2}}=-y\vec{\imath}+x\vec{\jmath}: circulação =8\pi \
fluxo =0

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