Um círculo
de raio
tem seu centro
no primeiro quadrante do plano
. Determine condições sobre os números
e
de modo que
intersecte o eixo
em dois pontos e o eixo
em um ponto.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de geometria analítica juntos! A questão fala sobre um círculo
com raio
e centro no ponto
no primeiro quadrante, ou seja,
e
. Precisamos descobrir quais condições os números
,
e
devem obedecer para que o círculo
intersecte o eixo
em dois pontos e o eixo
em apenas um ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a equação geral de um círculo com centro em
e raio
:
Essa é a base para encontrarmos as interseções com os eixos.
Passo 3
Para encontrar onde o círculo intersecta o eixo
, fazemos
na equação do círculo:
Simplificando:
Então:
Para que haja dois pontos de interseção com o eixo
, a expressão
precisa ser positiva:
Isso garante que a raiz quadrada existe e há dois valores reais de
.
Passo 4
Agora, vamos encontrar a interse��ão com o eixo
. Para isso, fazemos
na equação do círculo:
Simplificando:
Então:
Queremos que haja apenas um ponto de interseção com o eixo
, o que significa que a expressão
deve ser igual a zero:
Isso indica que a parábola tangencia o eixo
em exatamente um ponto.
Passo 5
Resumindo as condições que encontramos:
- Para dois pontos de interseção com o eixo
: - Para um ponto de interseção com o eixo
:
Resposta
As condições são
e
. Ou seja, o raio do círculo deve ser igual a
e maior que
.