Um círculo C de raio r>0 tem seu centro A=(x0, y0) no primeiro quadrante do plano (x0>0, y0>0). Determine condições sobre os números x0, y0 e r de modo que C intersecte o eixo x em dois pontos e o eixo y em um ponto.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de geometria analítica juntos! A questão fala sobre um círculo com raio e centro no ponto no primeiro quadrante, ou seja, e . Precisamos descobrir quais condições os números , e devem obedecer para que o círculo intersecte o eixo em dois pontos e o eixo em apenas um ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a equação geral de um círculo com centro em (x - x0)^2 + (y - y0)^2 = r^2 e raio :
Essa é a base para encontrarmos as interseções com os eixos.

Passo 3

Para encontrar onde o círculo intersecta o eixo (x - x0)^2 + (0 - y0)^2 = r^2 , fazemos (x - x0)^2 + y0^2 = r^2 na equação do círculo:
(x - x0)^2 = r^2 - y0^2
Simplificando:
r^2 - y0^2 > 0 implies r > y0
Então:
Para que haja dois pontos de interseção com o eixo , a expressão precisa ser positiva:
Isso garante que a raiz quadrada existe e há dois valores reais de .

Passo 4

Agora, vamos encontrar a interse��ão com o eixo (0 - x0)^2 + (y - y0)^2 = r^2 . Para isso, fazemos x0^2 + (y - y0)^2 = r^2 na equação do círculo:
(y - y0)^2 = r^2 - x0^2
Simplificando:
r^2 - x0^2 = 0 implies r = x0
Então:
Queremos que haja apenas um ponto de interseção com o eixo , o que significa que a expressão deve ser igual a zero:
Isso indica que a parábola tangencia o eixo em exatamente um ponto.

Passo 5

Resumindo as condições que encontramos:
  1. Para dois pontos de interseção com o eixo :
  2. Para um ponto de interseção com o eixo :

Resposta

As condições são e . Ou seja, o raio do círculo deve ser igual a e maior que .

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