Seja
o espaço vetorial de todas as matrizes quadradas de ordem
. Qual dos seguintes conjuntos de matrizes em
são subespaços vetoriais de
? Justifique sua resposta.
(b) Todas as matrizes
não inversíveis.
(b) Todas as matrizes
Passo 1
Vamos analisar o exercício: temos o espaço vetorial
formado por todas as matrizes quadradas de ordem
. A questão pede para verificarmos se o conjunto de todas as matrizes não inversíveis
em
é um subespaço vetorial. Para resolver isso, vamos precisar entender os critérios que definem um subespaço vetorial e aplicar esses conceitos às matrizes não inversíveis.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um subconjunto
de um espaço vetorial
é chamado de subespaço vetorial se satisfaz três condições:
- Contém o vetor nulo: O vetor zero de
está em . - Fechado pela adição: Se
e estão em , então também está em . - Fechado pela multiplicação escalar: Se
está em e é um escalar, então está em .
Vamos verificar cada uma dessas condições para o conjunto das matrizes não inversíveis.
Passo 3
1. Contém o vetor nulo:
No contexto das matrizes, o vetor nulo é a matriz zero, . A matriz zero não é inversível porque não possui inversa. Portanto, a condição de conter o vetor nulo é satisfeita.
No contexto das matrizes, o vetor nulo é a matriz zero,
Passo 4
2. Fechado pela adição:
Vamos ver se a soma de duas matrizes não inversíveis resulta em uma matriz não inversível. Suponha que e
sejam duas matrizes não inversíveis. No entanto, a soma
pode ser inversível. Por exemplo, considere matrizes
e
tais que
, onde
é a matriz identidade, que é inversível. Isso mostra que a soma de duas matrizes não inversíveis nem sempre é não inversível.
Vamos ver se a soma de duas matrizes não inversíveis resulta em uma matriz não inversível. Suponha que
Passo 5
3. Fechado pela multiplicação escalar:
Agora, vamos verificar a multiplicação por um escalar. Seja uma matriz não inversível e
um escalar diferente de zero. A matriz
também é não inversível, pois a inversibilidade depende apenas dos coeficientes da matriz, não do escalar. Porém, se
, então
é a matriz zero, que já está no conjunto.
Agora, vamos verificar a multiplicação por um escalar. Seja
Passo 6
Mesmo que o conjunto satisfaça as condições de conter o vetor zero e ser fechado pela multiplicação escalar, a falha na condição de fechamento pela adição significa que o conjunto das matrizes n��o inversíveis não é um subespaço vetorial de
.
Resposta
O conjunto de todas as matrizes não inversíveis em
não é um subespaço vetorial de
, pois não é fechado pela adição de matrizes.