Seja V o espaço vetorial de todas as matrizes quadradas de ordem n. Qual dos seguintes conjuntos de matrizes em V são subespaços vetoriais de V ? Justifique sua resposta.
(b) Todas as matrizes A não inversíveis.

Passo 1

Vamos analisar o exercício: temos o espaço vetorial formado por todas as matrizes quadradas de ordem . A questão pede para verificarmos se o conjunto de todas as matrizes não inversíveis em é um subespaço vetorial. Para resolver isso, vamos precisar entender os critérios que definem um subespaço vetorial e aplicar esses conceitos às matrizes não inversíveis.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um subconjunto de um espaço vetorial é chamado de subespaço vetorial se satisfaz três condições:
  1. Contém o vetor nulo: O vetor zero de está em .
  2. Fechado pela adição: Se e estão em , então também está em .
  3. Fechado pela multiplicação escalar: Se está em e é um escalar, então está em .
Vamos verificar cada uma dessas condições para o conjunto das matrizes não inversíveis.

Passo 3

1. Contém o vetor nulo:
No contexto das matrizes, o vetor nulo é a matriz zero, . A matriz zero não é inversível porque não possui inversa. Portanto, a condição de conter o vetor nulo é satisfeita.

Passo 4

2. Fechado pela adição:
Vamos ver se a soma de duas matrizes não inversíveis resulta em uma matriz não inversível. Suponha que e sejam duas matrizes não inversíveis. No entanto, a soma pode ser inversível. Por exemplo, considere matrizes e tais que , onde é a matriz identidade, que é inversível. Isso mostra que a soma de duas matrizes não inversíveis nem sempre é não inversível.

Passo 5

3. Fechado pela multiplicação escalar:
Agora, vamos verificar a multiplicação por um escalar. Seja uma matriz não inversível e um escalar diferente de zero. A matriz também é não inversível, pois a inversibilidade depende apenas dos coeficientes da matriz, não do escalar. Porém, se , então é a matriz zero, que já está no conjunto.

Passo 6

Mesmo que o conjunto satisfaça as condições de conter o vetor zero e ser fechado pela multiplicação escalar, a falha na condição de fechamento pela adição significa que o conjunto das matrizes n��o inversíveis não é um subespaço vetorial de .

Resposta

O conjunto de todas as matrizes não inversíveis em não é um subespaço vetorial de , pois não é fechado pela adição de matrizes.

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