Quais dos conjuntos abaixo são subespaços vetoriais de R^4 ? Justifique.
(a) W=(x, y, z, t) in R^4 mid x+y=0 e z-t=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente descobrir se o conjunto é um subespaço vetorial de . Para isso, vamos usar os conceitos de subespaço vetorial, que incluem verificar se o conjunto contém o vetor zero, se é fechado em relação à adição e à multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos conferir se o vetor zero está em . O vetor zero em é .
  • Substituindo na condição de :
Então, o vetor zero está em .

Passo 3

Agora, vamos verificar se é fechado em relação à adição. Isso significa que se a gente pegar dois vetores quaisquer em e somar, o resultado também deve estar em .
Vamos chamar dois vetores de :
  • , onde e
  • , onde e
Somando .
Vamos verificar as condições:
Portanto, também está em .

Passo 4

Por último, vamos ver se é fechado em relação à multiplicação por escalar. Ou seja, se a gente pegar um vetor qualquer em e multiplicar por um número qualquer, o resultado também deve estar em .
Vamos pegar um vetor em , onde e , e um escalar .
Multiplicando por :
Verificando as condições:
Então, também está em .

Resposta

Como contém o vetor zero, é fechado em relação à adição e à multiplicação por escalar, podemos concluir que é um subespaço vetorial de .

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