Quais dos conjuntos abaixo são subespaços vetoriais de
? Justifique.
(a)
e
.
(a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente descobrir se o conjunto
é um subespaço vetorial de
. Para isso, vamos usar os conceitos de subespaço vetorial, que incluem verificar se o conjunto contém o vetor zero, se é fechado em relação à adição e à multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos conferir se o vetor zero está em
. O vetor zero em
é
.
- Substituindo na condição de
: -
✅ -
✅
-
Então, o vetor zero está em
.
Passo 3
Agora, vamos verificar se
é fechado em relação à adição. Isso significa que se a gente pegar dois vetores quaisquer em
e somar, o resultado também deve estar em
.
Vamos chamar dois vetores de
:
-
, onde e -
, onde e
Somando
.
Vamos verificar as condições:
-
✅ -
✅
Portanto,
também está em
.
Passo 4
Por último, vamos ver se
é fechado em relação à multiplicação por escalar. Ou seja, se a gente pegar um vetor qualquer em
e multiplicar por um número qualquer, o resultado também deve estar em
.
Vamos pegar um vetor
em
, onde
e
, e um escalar
.
Multiplicando por
:
Verificando as condições:
-
✅ -
✅
Então,
também está em
.
Resposta
Como
contém o vetor zero, é fechado em relação à adição e à multiplicação por escalar, podemos concluir que
é um subespaço vetorial de
.