Uma barra trimetálica está comprimida uniformemente por uma força axial
aplicada através de uma placa rígida na extremidade. A barra consiste de um núcleo circular de aço circundado por tubos de latão e de cobre. 0 núcleo de aço tem diâmetro
, o tubo de latão tem diâmetro externo de
e o tubo de cobre tem diâmetro externo de
. Os módulos de elasticidade correspondentes são
e
. Calcule as tensões normais de compressão no aço, latão e cobre devido à força P .
Passo 1
O enunciado pede: calcular as tensões normais de compressão no aço, no latão e no cobre da barra trimetálica quando submetida à força axial
aplicada por uma placa rígida. Dados fornecidos (retirei os valores diretamente do enunciado):
,
,
.
Módulos de elasticidade: ,
,
.
O que eu preciso entregar: ,
e
(tensões normais de compressão).
Módulos de elasticidade:
O que eu preciso entregar:
Passo 2
Princípio físico e fórmula que vamos usar (explicando bem): como a barra é composta e os materiais estão ligados entre si e a força é aplicada por uma placa rígida, todos os materiais sofrem a mesma deformação axial (mesma variação relativa de comprimento), ou seja, têm a mesma deformação axial
. A Lei de Hooke linear diz que para carregamento axial em regime elástico:
, onde
é a tensão normal,
é o módulo de elasticidade do material e
é a deformação axial (adimensional). A condição de equilíbrio axial é que a soma das forças internas (tensões vezes áreas) seja igual à força aplicada
:
Substituindo
obtemos a fórmula para a deformação comum:
Aqui
representa os três materiais (aço, latão, cobre),
são as áreas das seções transversais correspondentes e
os seus módulos. Depois calculamos
.
Passo 3
Cálculo das áreas das seções transversais (fórmula usada: área do círculo
). Peguei os diâmetros do enunciado conforme listado no Passo 1.
Área do núcleo de aço:
Área do tubo de latão (é a área do círculo externo de diâmetro
menos a área do núcleo de aço):
Área do tubo de cobre (área do círculo externo de diâmetro
menos a área do círculo de diâmetro
):
Para visualizar os números aproximados (opcional para cálculos):
Passo 4
Calcular os termos
que aparecem no denominador de
.
Para o aço:
Para o latão:
Para o cobre:
Somando:
Passo 5
Calcular a deformação comum usando
. Substituindo
e o valor acima:
Explicando: essa
é adimensional (variação relativa de comprimento), e é muito pequena como esperado para materiais rígidos sob essa carga.
Passo 6
Agora as tensões em cada material:
.
Aço:
Latão:
Cobre:
Observação didática: as tensões são proporcionais aos módulos
porque todos têm a mesma deformação
; materiais com maior
recebem maior fração da carga.
Passo 7
Verificação rápida (cheque de equilíbrio): multiplicando
e somando deve voltar aproximadamente
.
o que confirma consistência numérica (fizemos as contas mantendo coerência).