Uma barra trimetálica está comprimida uniformemente por uma força axial \mathrm{P}=2000 \mathrm{lb} aplicada através de uma placa rígida na extremidade. A barra consiste de um núcleo circular de aço circundado por tubos de latão e de cobre. 0 núcleo de aço tem diâmetro 0,4 \mathrm{in}, o tubo de latão tem diâmetro externo de 0,6 \mathrm{in} e o tubo de cobre tem diâmetro externo de 0,8 \mathrm{in}. Os módulos de elasticidade correspondentes são \mathrm{E}_{\text {aço }}=30 \times 10^{6} \mathrm{psi}, \mathrm{E}_{\text {latão }}=15 \times 10^{6} \mathrm{psi}çã e \mathrm{E}_{\text {cobre }}=18 \times 10^{6} \mathrm{psi}. Calcule as tensões normais de compressão no aço, latão e cobre devido à força P .

Passo 1

O enunciado pede: calcular as tensões normais de compressão no aço, no latão e no cobre da barra trimetálica quando submetida à força axial \mathrm{P}=2000\\ \mathrm{lb} aplicada por uma placa rígida. Dados fornecidos (retirei os valores diretamente do enunciado):
\mathrm{d}_{\text{aço}}=0{,}4\\ \mathrm{in}ç, \mathrm{d}_{\text{latão, ext}}=0{,}6\\ \mathrm{in}ã, \mathrm{d}_{\text{cobre, ext}}=0{,}8\\ \mathrm{in}.
Módulos de elasticidade: \mathrm{E}_{\text{aço}}=30\times10^{6}\\ \mathrm{psi}ç, \mathrm{E}_{\text{latão}}=15\times10^{6}\\ \mathrm{psi}ã, \mathrm{E}_{\text{cobre}}=18\times10^{6}\\ \mathrm{psi}.
O que eu preciso entregar: \sigma_{\text{aço}}ç, \sigma_{\text{latão}}ã e \sigma_{\text{cobre}} (tensões normais de compressão).

Passo 2

Princípio físico e fórmula que vamos usar (explicando bem): como a barra é composta e os materiais estão ligados entre si e a força é aplicada por uma placa rígida, todos os materiais sofrem a mesma deformação axial (mesma variação relativa de comprimento), ou seja, têm a mesma deformação axial \varepsilon. A Lei de Hooke linear diz que para carregamento axial em regime elástico: \sigma = E\,\varepsilon, onde \sigma é a tensão normal, E é o módulo de elasticidade do material e \varepsilon é a deformação axial (adimensional). A condição de equilíbrio axial é que a soma das forças internas (tensões vezes áreas) seja igual à força aplicada \mathrm{P}:
\sum_{i} \sigma_{i} A_{i} = P.
Substituindo \sigma_{i}=E_{i}\varepsilon obtemos a fórmula para a deformação comum:
\varepsilon=\frac{P}{\sum_{i} E_{i} A_{i}}.
Aqui i representa os três materiais (aço, latão, cobre), A_{i} são as áreas das seções transversais correspondentes e E_{i} os seus módulos. Depois calculamos \sigma_{i}=E_{i}\varepsilon.

Passo 3

Cálculo das áreas das seções transversais (fórmula usada: área do círculo \displaystyle A=\frac{\pi d^{2}}{4}). Peguei os diâmetros do enunciado conforme listado no Passo 1.
Área do núcleo de aço:
A_{\text{aço}}=\frac{\pi (0{,}4)^{2}}{4}=\pi\cdot 0{,}04=0{,}04\pi\\ \mathrm{in}^{2}.ç
Área do tubo de latão (é a área do círculo externo de diâmetro 0{,}6 menos a área do núcleo de aço):
A_{\text{latão}}=\frac{\pi (0{,}6)^{2}}{4}-\frac{\pi (0{,}4)^{2}}{4}=\pi\,(0{,}09-0{,}04)=0{,}05\pi\\ \mathrm{in}^{2}.ã
Área do tubo de cobre (área do círculo externo de diâmetro 0{,}8 menos a área do círculo de diâmetro 0{,}6):
A_{\text{cobre}}=\frac{\pi (0{,}8)^{2}}{4}-\frac{\pi (0{,}6)^{2}}{4}=\pi\,(0{,}16-0{,}09)=0{,}07\pi\\ \mathrm{in}^{2}.
Para visualizar os números aproximados (opcional para cálculos):
A_{\text{aço}}\approx 0{,}04\pi\approx 0{,}12566\\ \mathrm{in}^{2},ç
A_{\text{latão}}\approx 0{,}05\pi\approx 0{,}15708\\ \mathrm{in}^{2},ã
A_{\text{cobre}}\approx 0{,}07\pi\approx 0{,}21991\\ \mathrm{in}^{2}.

Passo 4

Calcular os termos E_{i}A_{i} que aparecem no denominador de \varepsilon.
Para o aço:
E_{\text{aço}}A_{\text{aço}}=(30\times10^{6})\cdot(0{,}04\pi)=30\times10^{6}\cdot0{,}1256637\approx 3{,}769911\times10^{6}.çç
Para o latão:
E_{\text{latão}}A_{\text{latão}}=(15\times10^{6})\cdot(0{,}05\pi)=15\times10^{6}\cdot0{,}1570796\approx 2{,}356194\times10^{6}.ãã
Para o cobre:
E_{\text{cobre}}A_{\text{cobre}}=(18\times10^{6})\cdot(0{,}07\pi)=18\times10^{6}\cdot0{,}2199115\approx 3{,}958407\times10^{6}.
Somando:
\sum_{i}E_{i}A_{i}\approx 3{,}769911\times10^{6}+2{,}356194\times10^{6}+3{,}958407\times10^{6}=1{,}00845124\times10^{7}.

Passo 5

Calcular a deformação comum usando \displaystyle \varepsilon=\frac{P}{\sum_{i}E_{i}A_{i}}. Substituindo P=2000\\ \mathrm{lb} e o valor acima:
\varepsilon=\frac{2000}{1{,}00845124\times10^{7}}\approx 1{,}98327\times10^{-4}.
Explicando: essa \varepsilon é adimensional (variação relativa de comprimento), e é muito pequena como esperado para materiais rígidos sob essa carga.

Passo 6

Agora as tensões em cada material: \sigma_{i}=E_{i}\varepsilon.
Aço:
\sigma_{\text{aço}}=E_{\text{aço}}\varepsilon=(30\times10^{6})\cdot(1{,}98327\times10^{-4})\approx 5949{,}8\\ \mathrm{psi}.çç
Latão:
\sigma_{\text{latão}}=E_{\text{latão}}\varepsilon=(15\times10^{6})\cdot(1{,}98327\times10^{-4})\approx 2974{,}9\\ \mathrm{psi}.ãã
Cobre:
\sigma_{\text{cobre}}=E_{\text{cobre}}\varepsilon=(18\times10^{6})\cdot(1{,}98327\times10^{-4})\approx 3569{,}9\\ \mathrm{psi}.
Observação didática: as tensões são proporcionais aos módulos E porque todos têm a mesma deformação \varepsilon; materiais com maior E recebem maior fração da carga.

Passo 7

Verificação rápida (cheque de equilíbrio): multiplicando \sigma_{i}A_{i} e somando deve voltar aproximadamente P.
\sigma_{\text{aço}}A_{\text{aço}}+\sigma_{\text{latão}}A_{\text{latão}}+\sigma_{\text{cobre}}A_{\text{cobre}}\approx 2000\\ \mathrm{lb},ççãã
o que confirma consistência numérica (fizemos as contas mantendo coerência).

Resposta

\sigma_{\text{aço}}\approx 5949{,}8\\ \mathrm{psi}ç (compressão)
\sigma_{\text{latão}}\approx 2974{,}9\\ \mathrm{psi}ã (compressão)
\sigma_{\text{cobre}}\approx 3569{,}9\\ \mathrm{psi} (compressão)

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