Uma coluna de seção tubular com diâmetros interno de 300 mm e diâmetro externo de 400 mm e modulo de elasticidade de
está submetida a uma carga de 2500 kN . Determine a tensão que atua na coluna assim com o seu encurtamento sabendo que a coluna tem uma altura inicial de 5 m .
Passo 1
Enunciado: Uma coluna de seção tubular com diâmetro interno
e diâmetro externo
, módulo de elasticidade
, está submetida a uma carga de
. A coluna tem altura inicial
. Pede-se: a tensão que atua na coluna e o seu encurtamento.
Dados fornecidos:
Passo 2
Entendimento das fórmulas que vamos usar — aula rápida e prática.
- Tensão média normal (axial) é definida por força dividida pela área da seção transversal:
onde
é a tensão (unidade
ou
),
é a força axial (unidade
) e
é a área da seção transversal (unidade
).
- Para uma seção tubular circular (anel), a área é a área do círculo externo menos a área do círculo interno:
onde
e
são os diâmetros externo e interno (em
).
- Encurtamento axial (deformação linear) na zona elástica segue a Lei de Hooke para tração/compressão:
onde
é a deformação adimensional,
é o encurtamento (unidade
),
é o comprimento inicial (em
) e
é o módulo de elasticidade (em
). Assim:
Passo 3
Cálculo da área da seção transversal do tubo — passo a passo.
Usamos a fórmula do anel:
Substituindo
e
:
Calcule as potências:
Diferença:
Logo:
Valor numérico aproximado (use
):
Passo 4
Cálculo da tensão axial média
.
Aplicamos
. Com
e
:
Fazendo a divisão:
Observação de sinal: como a carga comprime a coluna, a tensão é compressiva; podemos escrever
se quisermos indicar o sinal (mas frequentemente apresenta-se o valor absoluto com indicação “compressivo”).
Comentário rápido:
é a mesma unidade que
, então
.
Passo 5
Cálculo do encurtamento
usando a Lei de Hooke.
Primeiro a deformação:
Calculando:
Agora o encurtamento:
Multiplicando:
Novamente, como é encurtamento por compressão, poderíamos escrever
para indicar redução de comprimento; tipicamente fornece-se o valor absoluto com a indicação “encurtamento”.
Passo 6
Verificação rápida da coerência das ordens de grandeza (confiança para a prova).
- Área cerca de
e força → tensão cerca de . Faz sentido. - Deformação
. Para isso dá . Coerente.
Força extra de motivação: se fizer parecido na prova, escreva primeiro as unidades, converta tudo para
e
, calcule a área do anel com a fórmula
, depois tensão e, por fim,
.