Uma coluna de seção tubular com diâmetros interno de 300 mm e diâmetro externo de 400 mm e modulo de elasticidade de 180000 \mathrm{~N} / \mathrm{mm}^{2} está submetida a uma carga de 2500 kN . Determine a tensão que atua na coluna assim com o seu encurtamento sabendo que a coluna tem uma altura inicial de 5 m .

Passo 1

Enunciado: Uma coluna de seção tubular com diâmetro interno 300\\ \mathrm{mm} e diâmetro externo 400\\ \mathrm{mm}, módulo de elasticidade 180000\\ \mathrm{N/mm^{2}}, está submetida a uma carga de 2500\\ \mathrm{kN}. A coluna tem altura inicial 5\\ \mathrm{m}. Pede-se: a tensão que atua na coluna e o seu encurtamento.
Dados fornecidos:
d_i = 300\\ \mathrm{mm}
d_o = 400\\ \mathrm{mm}
E = 180000\\ \mathrm{N/mm^{2}}
P = 2500\\ \mathrm{kN} = 2{,}5\times 10^{6}\\ \mathrm{N}
L = 5\\ \mathrm{m} = 5000\\ \mathrm{mm}

Passo 2

Entendimento das fórmulas que vamos usar — aula rápida e prática.
  • Tensão média normal (axial) é definida por força dividida pela área da seção transversal:
\sigma = \frac{P}{A},
onde \sigma é a tensão (unidade \mathrm{N/mm^{2}} ou \mathrm{MPa}), P é a força axial (unidade \mathrm{N}) e A é a área da seção transversal (unidade \mathrm{mm^{2}}).
  • Para uma seção tubular circular (anel), a área é a área do círculo externo menos a área do círculo interno:
A = \pi\left(r_o^2 - r_i^2\right) = \frac{\pi}{4}\left(d_o^2 - d_i^2\right),
onde d_o e d_i são os diâmetros externo e interno (em \mathrm{mm}).
  • Encurtamento axial (deformação linear) na zona elástica segue a Lei de Hooke para tração/compressão:
\epsilon = \frac{\Delta L}{L} = \frac{\sigma}{E},
onde \epsilon é a deformação adimensional, \Delta L é o encurtamento (unidade \mathrm{mm}), L é o comprimento inicial (em \mathrm{mm}) e E é o módulo de elasticidade (em \mathrm{N/mm^{2}}). Assim:
\Delta L = \epsilon\,L = \frac{\sigma}{E}\,L.

Passo 3

Cálculo da área da seção transversal do tubo — passo a passo.
Usamos a fórmula do anel:
A = \frac{\pi}{4}\left(d_o^2 - d_i^2\right).
Substituindo d_o = 400\\ \mathrm{mm} e d_i = 300\\ \mathrm{mm}:
A = \frac{\pi}{4}\left(400^{2} - 300^{2}\right)\\ \mathrm{mm^{2}}.
Calcule as potências:
400^{2} = 160000,\qquad 300^{2} = 90000.
Diferença:
160000 - 90000 = 70000.
Logo:
A = \frac{\pi}{4}\cdot 70000 = 17500\pi\\ \mathrm{mm^{2}}.
Valor numérico aproximado (use \pi\approx 3{,}14159265):
A \approx 17500\times 3{,}14159265 \approx 54977{,}87\\ \mathrm{mm^{2}}.

Passo 4

Cálculo da tensão axial média \sigma.
Aplicamos \sigma = \dfrac{P}{A}. Com P=2{,}5\times 10^{6}\\ \mathrm{N} e A \approx 54977{,}87\\ \mathrm{mm^{2}}:
\sigma = \frac{2{,}5\times 10^{6}}{54977{,}87}\\ \mathrm{N/mm^{2}}.
Fazendo a divisão:
\sigma \approx 45{,}45\\ \mathrm{N/mm^{2}}.
Observação de sinal: como a carga comprime a coluna, a tensão é compressiva; podemos escrever \sigma \approx -45{,}45\\ \mathrm{N/mm^{2}} se quisermos indicar o sinal (mas frequentemente apresenta-se o valor absoluto com indicação “compressivo”).
Comentário rápido: \mathrm{N/mm^{2}} é a mesma unidade que \mathrm{MPa}, então \sigma \approx 45{,}45\\ \mathrm{MPa}.

Passo 5

Cálculo do encurtamento \Delta L usando a Lei de Hooke.
Primeiro a deformação:
\epsilon = \frac{\sigma}{E} = \frac{45{,}45}{180000}.
Calculando:
\epsilon \approx 0{,}0002525\quad(\text{adimensional}).
Agora o encurtamento:
\Delta L = \epsilon\,L = 0{,}0002525 \times 5000\\ \mathrm{mm}.
Multiplicando:
\Delta L \approx 1{,}2626\\ \mathrm{mm}.
Novamente, como é encurtamento por compressão, poderíamos escrever \Delta L \approx -1{,}2626\\ \mathrm{mm} para indicar redução de comprimento; tipicamente fornece-se o valor absoluto com a indicação “encurtamento”.

Passo 6

Verificação rápida da coerência das ordens de grandeza (confiança para a prova).
  • Área cerca de 5{,}5\times 10^{4}\\ \mathrm{mm^{2}} e força 2,5\times 10^{6}\\ \mathrm{N} → tensão cerca de 2{,}5\times 10^{6}/5{,}5\times 10^{4}\approx 45\\ \mathrm{N/mm^{2}}. Faz sentido.
  • Deformação \sim 45/180000 \sim 2{,}5\times 10^{-4}. Para L=5000\\ \mathrm{mm} isso dá \sim 1{,}25\\ \mathrm{mm}. Coerente.
Força extra de motivação: se fizer parecido na prova, escreva primeiro as unidades, converta tudo para \mathrm{N} e \mathrm{mm}, calcule a área do anel com a fórmula \pi/4(d_o^2-d_i^2), depois tensão e, por fim, \Delta L = (\sigma/E)L.

Resposta

\sigma \approx 45{,}45\\ \mathrm{N/mm^{2}} (compressivo)
\Delta L \approx 1{,}2626\\ \mathrm{mm}

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