1. Se uma circunferência C de raio 1 rola ao longo do interior da circunferência x^{2}+y^{2}=16, um ponto fixo P de C descreve uma curva chamada epicicloide, com equações paramétricas x=5 \cos t-\cos 5 t, y=5 \operatorname{sen} t-\operatorname{sen} 5 t. Faça o gráfico da epicicloide e use 5 para calcular a área da região que ela envolve.

Passo 1

O enunciado trata de uma epicicloide gerada por um ponto fixo P de uma circunferência de raio 1 que rola sem deslizar ao redor, “por fora”, de uma circunferência fixa de equação x^{2}+y^{2}=16. As equações paramétricas são
x(t)=5\cos t-\cos5t,\quad y(t)=5\sin t-\sin5t,
e o objetivo é (i) esboçar o gráfico dessa curva para t\in[0,2\pi] e (ii) usar a fórmula de área em coordenadas paramétricas para calcular a área encerrada pela epicicloide.

Passo 2

Para esboçar a epicicloide note que, como o raio maior vale 4 e o menor vale 1, o número de cúspides será k+1 em que k=4/1=4, logo há 5 cúspides igualmente espaçadas. Em t=0 temos
x(0)=5\cdot1-1=4,\quad y(0)=0,
que é um vértice (cúspide) à direita. À medida que t varia de 0 a 2\pi, o ponto P descreve uma “estrela” de cinco pontas, com simetria de rotação de ângulo 2\pi/5.

Passo 3

A área A encerrada por uma curva paramétrica \bigl(x(t),y(t)\bigr), t\in[a,b], é dada por
A=\frac12\int_{a}^{b}\bigl(x(t)\,y'(t)-y(t)\,x'(t)\bigr)\,dt.
Aqui vamos usar a=0 e b=2\pi.

Passo 4

Calcule as derivadas:
x'(t)=-5\sin t+5\sin5t,\quad y'(t)=5\cos t-5\cos5t.
Então o integrando é
x\,y'-y\,x' =(5\cos t-\cos5t)(5\cos t-5\cos5t) -(5\sin t-\sin5t)(-5\sin t+5\sin5t).
Expandindo e reunindo termos, obtém-se após simplificação
x\,y'-y\,x'=30\bigl(1-\cos4t\bigr).

Passo 5

Substituindo em A:
A=\frac12\int_{0}^{2\pi}30\bigl(1-\cos4t\bigr)\,dt =15\int_{0}^{2\pi}\bigl(1-\cos4t\bigr)\,dt =15\Bigl[2\pi-0\Bigr] =30\pi.

Resposta

A área encerrada pela epicicloide é 30\pi.

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