- Se uma circunferência
de raio 1 rola ao longo do interior da circunferência
, um ponto fixo
de
descreve uma curva chamada epicicloide, com equações paramétricas
. Faça o gráfico da epicicloide e use 5 para calcular a área da região que ela envolve.
Passo 1
O enunciado trata de uma epicicloide gerada por um ponto fixo
de uma circunferência de raio
que rola sem deslizar ao redor, “por fora”, de uma circunferência fixa de equação
. As equações paramétricas são
e o objetivo é (i) esboçar o gráfico dessa curva para
e (ii) usar a fórmula de área em coordenadas paramétricas para calcular a área encerrada pela epicicloide.
Passo 2
Para esboçar a epicicloide note que, como o raio maior vale
e o menor vale
, o número de cúspides será
em que
, logo há
cúspides igualmente espaçadas. Em
temos
que é um vértice (cúspide) à direita. À medida que
varia de
a
, o ponto
descreve uma “estrela” de cinco pontas, com simetria de rotação de ângulo
.
Passo 3
A área
encerrada por uma curva paramétrica
,
, é dada por
Aqui vamos usar
e
.
Passo 4
Calcule as derivadas:
Então o integrando é
Expandindo e reunindo termos, obtém-se após simplificação
Passo 5
Substituindo em
:
Resposta
A área encerrada pela epicicloide é
.