- Seja
a região limitada por um caminho fechado simples
no plano
. Utilize o Teorema de Green para demonstrar que as coordenadas do centroide
de
são
Passo 1
O enunciado considera uma região
limitada por um caminho fechado simples
no plano
e pede para usar o Teorema de Green para obter fórmulas de
e
. Vamos precisar da definição de centroide e do Teorema de Green:
Passo 2
Lembrando as definições de centroide de uma região de área
:
Passo 3
Para expressar
como integral de linha, escolhemos
e
. Então
e pelo Teorema de Green
Logo
Passo 4
Para a integral
, tomamos
e
. Assim
e
Portanto
Passo 5
Substituindo esses resultados nas definições de
e
, obtemos