1. Seja D a região limitada por um caminho fechado simples C no plano x y. Utilize o Teorema de Green para demonstrar que as coordenadas do centroide (\bar{x}, \bar{y}) de D são
\bar{x}=\frac{1}{2 A} \oint_{C} x^{2} d y \quad \bar{y}=-\frac{1}{2 A} \oint_{C} y^{2} d x

Passo 1

O enunciado considera uma região D limitada por um caminho fechado simples C no plano xy e pede para usar o Teorema de Green para obter fórmulas de \bar{x} e \bar{y}. Vamos precisar da definição de centroide e do Teorema de Green:
\oint_{C}P\,dx + Q\,dy \;=\;\iint_{D}\bigl(\tfrac{\partial Q}{\partial x}-\tfrac{\partial P}{\partial y}\bigr)\,dA.

Passo 2

Lembrando as definições de centroide de uma região de área A:
\bar{x} = \frac{1}{A}\iint_{D} x\,dA, \qquad \bar{y} = \frac{1}{A}\iint_{D} y\,dA.

Passo 3

Para expressar \iint_{D} x\,dA como integral de linha, escolhemos P=0 e Q=x^2. Então
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=2x,
e pelo Teorema de Green
\oint_{C}0\,dx + x^2\,dy \;=\;\iint_{D}2x\,dA.
Logo
\iint_{D}x\,dA \;=\;\frac{1}{2}\oint_{C}x^2\,dy.

Passo 4

Para a integral \iint_{D} y\,dA, tomamos P=-y^2 e Q=0. Assim
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=2y,
e
\oint_{C}-y^2\,dx + 0\,dy \;=\;\iint_{D}2y\,dA.
Portanto
\iint_{D}y\,dA \;=\;-\frac{1}{2}\oint_{C}y^2\,dx.

Passo 5

Substituindo esses resultados nas definições de \bar{x} e \bar{y}, obtemos
\bar{x}=\frac{1}{A}\iint_{D}x\,dA =\frac{1}{2A}\oint_{C}x^2\,dy, \qquad \bar{y}=\frac{1}{A}\iint_{D}y\,dA =-\frac{1}{2A}\oint_{C}y^2\,dx.

Resposta

\bar{x}=\frac{1}{2A}\oint_{C}x^{2}\,dy, \qquad \bar{y}=-\frac{1}{2A}\oint_{C}y^{2}\,dx.

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