1. Use uma das fórmulas em 5 para achar a área sob um arco da cicloide x=t-\operatorname{sen} t, y=1-\cos t.

Passo 1

O enunciado dá a cicloide parametrizada por
x = t - \sin t,\quad y = 1 - \cos t
e pede a área sob um arco completo, que corresponde a t variando de 0 a 2\pi. Para resolver, usamos a fórmula de área em coordenadas paramétricas:
A = \int_{a}^{b} y\,dx.

Passo 2

Calculamos dx/dt e expressamos y\,dx:
\frac{dx}{dt} = 1 - \cos t,
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y\,dx = (1 - \cos t)\,\frac{dx}{dt}\,dt = (1 - \cos t)^2\,dt.

Passo 3

Montamos a integral de 0 a 2\pi:
A = \int_{0}^{2\pi}(1 - \cos t)^2\,dt.
Expandindo o integrando:
(1 - \cos t)^2 = 1 - 2\cos t + \cos^2 t = 1 - 2\cos t + \frac{1 + \cos(2t)}{2} = \frac{3}{2} - 2\cos t + \frac{1}{2}\cos(2t).

Passo 4

Integramos termo a termo:
\int_{0}^{2\pi}\frac{3}{2}\,dt = 3\pi,\quad \int_{0}^{2\pi}(-2\cos t)\,dt = 0,\quad \int_{0}^{2\pi}\frac{1}{2}\cos(2t)\,dt = 0.
Somando, obtemos
A = 3\pi.

Resposta

3\pi

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