A circunferência inscrita em um hexágono tem raio 9 cm . Determine o raio da circunferência circunscrita ao hexágono.

Passo 1

O enunciado diz que em um hexágono regular a circunferência inscrita (isto é, o apótema) tem raio 9 cm e pede o raio da circunferência circunscrita. O conteúdo aqui é a relação entre apótema e raio num polígono regular.

Passo 2

Em geral, num polígono regular de n lados, o apótema r e o raio R da circunferência circunscrita satisfazem
r = R \cos\Bigl(\frac{\pi}{n}\Bigr).
No caso de um hexágono, n=6 e \cos(\pi/6)=\sqrt{3}/2.

Passo 3

Substituindo r=9 e \cos(\pi/6)=\sqrt{3}/2 na relação,
9 = R \frac{\sqrt{3}}{2}.
Resolvendo para R, temos
R = \frac{9 \cdot 2}{\sqrt{3}} = \frac{18}{\sqrt{3}}.

Passo 4

Racionalizando o denominador,
R = \frac{18}{\sqrt{3}}\cdot\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 6\sqrt{3}.

Resposta

O raio da circunferência circunscrita ao hexágono é 6\sqrt{3} cm.

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