Determine o lado do triângulo equilátero cuja circunferência inscrita tem raio 6 cm .

Passo 1

O enunciado pede o lado de um triângulo equilátero cujo círculo inscrito tem raio r=6\text{ cm}. O conteúdo que vamos usar é geometria plana: a relação entre o raio r do círculo inscrito, a área A e o semiperímetro p de um triângulo, mais a fórmula específica para triângulo equilátero.

Passo 2

Em qualquer triângulo, o raio do círculo inscrito satisfaz
r = \frac{A}{p},
onde A é a área e p é o semiperímetro. No caso do triângulo equilátero de lado a, temos
A = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \quad\text{e}\quad p = \frac{3a}{2}.
Substituindo em r = A/p, vem
r = \frac{\displaystyle \frac{a^2\sqrt{3}}{4}}{\displaystyle \frac{3a}{2}} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot\frac{2}{3a} = \frac{a\sqrt{3}}{6}.

Passo 3

Agora basta igualar r=\tfrac{a\sqrt{3}}6 a 6 e resolver para a:
6 = \frac{a\sqrt{3}}{6} \quad\Longrightarrow\quad a = 6\cdot\frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{36}{\sqrt{3}} = 12\sqrt{3}.

Resposta

O lado do triângulo equilátero é 12\sqrt{3}\text{ cm}.

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